Anfangswertproblem für y'(t) = e^t y(t)+t*e^e^t

Question

Aufgabe:

\( y^{\prime}(t)=e^{t} y(t)+t e^{e^{t}} \quad y(0)=1 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe das Problem, dass ich bei der Variablentrennung nicht voran komme. Kann mmir da jemand helfen?

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

y'(t) = e^t y(t)+t*e^(e^t) ,y(0)=1

Lösung via " Variation der Konstanten"

1) homogene Gleichung:

y'(t) - e^t y(t) =0,->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dt= e^t y(t)

dy/y= e^t dt

ln|y|=e^t+C | e hoch

|y|=e^(e^t+C) =e^(e^t) * e^C

y= e^(e^t) * ± e^C ----------> ± e^C =C1

yh= C1 * e^(e^t)

2) C1=C(t)

yp=C(t) * e^(e^t) ->Produktregel

yp'= C'(t) * e^(e^t) +C(t) e^(t +e^(t))

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(t) muß sich herauskürzen

C'(t)=t

C(t)=t^2/2

4) 

yp= C(t) * e^(e^t) =t^2/2 *e^(e^t)

5)y= yh+yp


6)AWB einsetzen y(0)=1

y=e^(e^t)) ((t^2/2) +(1/e))