Eine gegebene reelle Zahlen konvexität

Question

TAufgabe:

Aufgabe 3: Für eine gegebene reelle Zahl a betrachten wir die Funktion f:R+ →R:x     →x^a*e^-x

Untersuchen Sie f hinsichtlich Monotonie, Konvexität und lokaler bzw. globaler Extrema.
Hinweis: Beachten Sie, dass Extremstellen und Wendepunkte bzw. die Bereiche, in denen f monoton wachsend/fallend bzw. konvex/konkav ist, von dem Parameter a
abhängen . Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen

Problem/Ansatz:

Hey kann einer mir bei dieser Aufgabe helfen bitte

Answer 1

Monotonie mit 1. Ableitung untersuchen:

Die ist f ' (x)= (  a/x - 1 ) * x^a * e^(-x)    und  e^(-x)  für a=0

Für a=0 ist das für alle x  positiv, also f monoton steigend über ℝ⁺.

Für a>0 ist x^a ≥ 0  und  e^(-x) für alle x∈ℝ⁺.

Und der erste Faktor wegen  x>0   :              a/x - 1 ≥ 0 <=>  x<a , also

    ist f monoton steigend für x>0 bis x=a und danach monoton fallend.

Für a<0 t xa ≥ 0  und e^(-x) für alle x∈ℝ+.

Und der erste Faktor wegen x>0  immer negativ, also
      ist f monoton fallend für alle x>0 .

Für a=2 und a=-2 sieht es z.B. so aus:

Für die Krümmung untersuche es entsprechend mit f ' ' .

~plot~ x^2*e^(-x); x^(-2)*e^(-x);  ~plot~

Answer 2

$$f(x)=x^{a}*e^{-x}$$

Für |a| ∉ℕ ist die Funktion für x<0 nicht definiert

$$f'(x)=(ax^{a-1}-x^{a})*e^{-x}$$$$f'(x)=(a-x)x^{a-1}*e^{-x}$$$$f'(a)=0$$$$f''(x)=-x^{a-1}*e^{-x}+(a-x)(a-1-x)x^{a-2}*e^{-x}$$$$f''(x)=((a-x)(a-1-x)-x)x^{a-2}*e^{-x}$$$$f''(a)= - x^{a-1}*e^{-x}$$

Für a=0 ist die Funktion konkav und hat keine Extremstelle , wenn x gegen unendlich strebt, geht die Funktion gegen 0

Für a>0 ist bei x=a ein Maximum

Für a<0 ist dies nicht so einfach zu entscheiden.

Für a=-2 ist bei x=-2 ein Minimum

Für a=-2n ist bei x=-2n ein Minimum

Für a=-3 ist bei x=-3 ein Maximum

Für a=-(2n-1) ist bei x=-(2n-1)ein Maximum