Hallo,
rechne den Ausdruck \(y^TAy\) mal durch:$$\begin{aligned} y^TAy &= y^T \left( \mathbb I_n + a \cdot \underline 1_n \underline 1_n^T\right) y \\&= y^T \mathbb I_n y + a \cdot \underbrace{y^T \underline 1_n}_{=\sum y_i} \cdot \underbrace{\underline 1_n^T y}_{=\sum y_i} \\&= \sum y_i^2 + a\left( \sum y_i \right)^2\end{aligned}$$Die \(y_i\) sind die \(n\) Koordinaten des Vektors \(y\).
Für so einen Ausdruck gibt es nun zwei Möglichkeiten. Entweder füllt man den Vektor \(y\) mit der identischen Koordinaten \(c \ne 0\), dann ist$$\sum y_i^2 = nc^2, \quad \sum y_i = nc \\ \implies \sum y_i^2 + a\left( \sum y_i \right)^2 = nc^2 +an^2c^2 = nc^2(1 + an)$$Ist nun \(a \lt -\frac 1n\) dann wird der Ausdruck \(\lt 0\)$$y = \begin{pmatrix} c\\c \\ \vdots \\ c \end{pmatrix} \implies y^TAy \lt 0, \quad \text{für } a \lt - \frac 1n$$Oder man belegt lediglich zwei Koordinaten eines Vektors \(x\) mit den Werten von \(c\) und \(-c\) und alle anderen mit \(0\), dann ist$$\sum x_i^2 = 2c^2, \quad \sum x_i = 0 \\ \implies \sum x_i^2 + a\left( \sum x_i\right)^2 = 2c^2 + a \cdot 0 \gt 0$$Unabhängig vom Wert von \(a\) ist dann $$x = \begin{pmatrix} c\\-c \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \implies x^TAx = 2c^2 \gt 0, \quad \forall a \in \mathbb R$$Gruß Werner
