Beispiel für einen Ring finden ? Was ist ein kommutativer Ring?

Question

Blatt:

Kann mir mal jemand helfen ein Beispiel für einen Ring zu finden ? Was ist ein kommutativer Ring?



Fragen: 
(1)
Es fehlen mir Beispiele.
Wikipedia sagt, dass :
"Die ganzen Zahlen \( {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}  \) mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen euklidischen Ring."

Aber was ist ein Euklidischer Ring ? 

(2) 
Und ist ein kommutativer Ring eine Menge \(M\) mit zwei Verknüpfungen \(+\) und \(*\), wobei die Menge \(M\) bezüglich \(+\) eine abelsche Gruppe ist und die Menge \(M\) bezüglich \(*\) Assoziativ und kommutativ ist ?

Weil die Operation \(+\) ist ja bereits kommutativ, und ich glaube, ein kommutativer Ring muss auch bezüglich \(*\) kommutativ sein.
Also sozusagen ist ein kommutativer Ring wie es oben auf dem Blatt steht, einfach dass zusätzlich noch Kommutativität in \(*\) erfüllt ist. Oder?

Comments

In welchem Studiengang befindest du dich zur Zeit?

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Das ist Stoff aus Linalg 1. Und ich habe im Sommer Prüfungen.
Erstes Jahr Mathematik.

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Ok. In dem Satz "Die ganzen Zahlen \( {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}  \) mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen euklidischen Ring."kannst du das Adjektiv "euklidisch" streichen, dann ist er immer noch richtig und du hast ein Beispiel.

Habt ihr denn kein Buch?

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Super, vielen Dank !! :)

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Habt ihr denn kein Buch?

Wir haben nur eine Zusammenfassung als Skript und deswegen ist nicht alles auf Anhieb klar und ich muss immerwieder auf Wikipedia zurückgreifen oder online recherchieren. 

Hast du evt. ein Tipp von einem guten Buch ?

Answer 1

Also sozusagen ist ein kommutativer Ring wie oben auf dem Blatt stheht einfach dass noch kommutativität in * erfüllt ist.

Das stimmt jedenfalls.

Und für einen euklidischen Ring brauchst du noch eine Bewertungsfunktion.

Nur "Ring" hast du z.B. bei den ganzen Zahlen oder bei einem Polynomring wie

ℤ[x]   oder ℝ[x] .

Im Gegensatz zu einem Körper gibt es da nicht immer Inverse bzgl. der Multiplikation.

Etwa in ℤ  gibt es kein a mit  2*a = 1.

Comments

Nur "Ring" hast du z.B. bei den ganzen Zahlen oder bei einem Polynomring wie

ℤ[x]  oder ℝ[x] .

 
Also in den Ganzen Zahlen heisst das  \((\mathbb{Z}, +, \cdot) \) ein Ring ist ? 

Im Gegensatz zu einem Körper gibt es da nicht immer Inverse bzgl. der Multiplikation.

Etwa in ℤ  gibt es kein a mit  2*a = 1.

Also \( 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) da müsste ich mich bereits in \(\mathbb{Q}\) bewegen damit ich das Inverse bekomme? Unteranderm is wegen der nichtexistenz des Inversen  ist \(\mathbb{Z},+,\cdot \) kein Körper, oder?

Vielen Dank ! 

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Genau so ist es.

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Ooops, doch noch eine Frage, 

Die ganzen Zahlen haben aber bezüglich \(*\) doch ein Einselement.
In einem Ring ist das Einselement  bezüglich der zweiten Verknüpfung (im meinem Fall \(*\) ) nicht unbedingt gefordert. 

Es ist aber trotzdem ein Ring?

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Wenn die Eins nicht gefordert ist, heisst das noch lange nicht, dass die Eins verboten ist :) Ringe mit Eins sind somit kein Problem.

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Okay, vielen Dank , dann ist es ein sognannter Ring mit Einselement. :) 

Da für alle r in R ein 1 existiert mit der Eigenschaft dass r*1 = r.