Eigenschaften stetiger Funktion zeigen

Question

Aufgabe:

$$\begin{aligned} &\text { Sei } f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \text { eine stetige Funktion mit } f(0)=f(1) . \text { Zeigen Sie, dass es ein } a \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \text { mit der }\\ &\text { Eigenschaft } f(a)=f\left(a+\frac{1}{2}\right) \text { gibt. } \end{aligned}$$

Problem/Ansatz:

Keine Ahnung wie ich das Zeigen soll, hoffe ihr könnt mir helfen!

Comments

Vielleicht könnte dir das helfen

https://www.mathelounge.de/30734/zeigen-sie-dass-ein-0-1-2-existiert-mit-f-x-f-x-1-2-f-stetig-mit-f-0-f

Answer 1

Sei \(d:\left[0,\frac{1}{2}\right]\to \mathbb{R},\, x\mapsto f(x) - f\left(x+\frac{1}{2}\right)\).

Dann sind \(d(0)\) und \(d\left(\frac{1}{2}\right)\) Gegenzahlen voneinander.

Also hat \(d\) eine Nullstelle.

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Danke für die Antwort, aber was genau bringt mir die Nullstelle? Verstehe nicht wie ich jetzt weiter machen muss.

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\(d(\xi) = 0 \iff f(\xi) - f\left(\xi + \frac{1}{2}\right) = 0\)