Jede stückweise stetige Funktion auf [-pi,pi] ist Summe stetiger Funktion und Treppenfunktion?

Question

Aufgabe:

Hi ich halte bald einen Vortrag über die punktweise Konvergenz der Fourierreihen und bin auf einen Satz im Buch "Analysis I" von Martin Barner & Friedrich Flohr gestoßen, den ich nicht ganz verstehe bzw. mir nicht selbst konkret erschließen kann, warum er gilt:

"(...) jede in [-π,π] stückweise stetige Funktion ist Summe einer stetigen Funktion und einer Treppenfunktion."

Hängt das damit zusammen, dass wir in den abgeschlossenen Intervallen "den Summand" stetige Funktion haben und an den Unstetigkeitsstellen dann "den Summand" Treppenfunktion? Wie kann ich mir das vorstellen?

Ich freue mich auf Rückmeldung und danke im Voraus! :)

Comments

Unstetigkeitsstellen sind ja im Prinzip nur Sprungstellen. eine stückweise stetige Funktion ist in einem Bereich stetig, dann kommt ein Sprung, dann wieder ein stetiger Bereich, dann wieder ein Sprung usw.

Du kannst die stetigen Bereiche so zusammenschieben, dass eine stetige Funktion entsteht. Einfach Z.B den zweiten stetigen Abschnitt nehmen und so entlang der y-Achse verschieben, dass er ohne Sprung in den ersten übergeht. Dann den dritten verschieben usw. Wenn du damit fertig bist hast du (einen möglichen) stetigen Summanden der Summe. Die Treppenfunktion spiegelt dann die Verschiebungen der einzelnen Abschnitte wieder. Auf jedem addierst du ja konstant eine gewisse Zahl. Dass gibt dann dieses typische Treppen/Säulen Bild.

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Hier noch ein Bild zur Veranschaulichung. Die Änderung wurde im ersten Kommentar leider nicht übernommen.

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Ok, vielen Dank! Das hat es mir um einiges klarer gemacht :)

Answer 1

\(g(x) \coloneqq x^2\) ist stetig.

\(h(x) \coloneqq \begin{cases}0&-\pi \leq x \leq -1\\1&-1<x\leq 2\\-3&2<x\leq \pi \end{cases}\) ist eine Treppenfunktion.

\(f(x) := g(x)+h(x)\) ist stückweise stetig.

jede in [-π,π] stückweise stetige Funktion ist Summe einer stetigen Funktion und einer Treppenfunktion.

Hier geht es um die Umkehrung des obigen. Jede stückweise stetige Funktion \(f\) kann so in \(f = g+h\) zerlegt werden, dass \(g\) stetig ist und \(h\) eine Treppenfunktion ist.

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Super, danke für die Hilfe! Ich verstehe jetzt besser, was gemeint ist. :)