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Analyse der Funktion und ihrer Konvergenz
Um die Konvergenz der Folge der Funktionen \( f_n \) zu prüfen, analysieren wir zunächst die Definition der Funktionen:
\(
f_{n}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
n \sin (n x), & x \in\left[0, \frac{\pi}{n}\right] \\
0, & x \in\left(\frac{\pi}{n}, 1\right]
\end{array}
\right.
\)
Dabei handelt es sich um stückweise definierte Funktionen, die auf dem Intervall \([0,1]\) definiert sind.
a) Punktweise Konvergenz
Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge \( (f_n) \) gegen eine Funktion \( f \) bedeutet, dass für jedes \( x \in [0, 1] \), der Ausdruck \(\lim_{n \to \infty} f_n(x)\) existiert und gleich \( f(x) \) ist.
Für \( x > 0 \):
- Ist \( x \in \left[0, \frac{\pi}{n} \right) \), dann gilt \( f_n(x) = n \sin(nx) \).
- Da \( \sin(nx) \in [-1, 1] \), ist \( \lim_{n \to \infty} n \sin(nx) \) nicht einfach zu bestimmen, da der Ausdruck \( n \sin(nx) \) unbeschränkt oszilliert.
Für \( x = 0 \):
- \( f_n(0) = n \sin(0) = 0 \) für alle \( n \). Daher folgt \( \lim_{n \to \infty} f_n(0) = 0 \).
Für \( x \in (\frac{\pi}{n}, 1] \):
- \( f_n(x) = 0 \) für alle \( n \). Daher folgt \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \).
Wegen der komplizierten Oszillation im Intervall \([0, \frac{\pi}{n}]\) ergibt sich für alle \(x \neq 0\), dass die punktweise Konvergenz nicht sauber gegen eine bestimmte Funktion existiert. Für \(x = 0\) und \(x \in (\frac{\pi}{n}, 1]\) konvergiert \( f_n \) zu null.
b) Gleichmäßige Konvergenz
Für die gleichmäßige Konvergenz muss die Konvergenz nicht nur punktweise erfolgen, sondern auch die Konvergenzgeschwindigkeit unabhängig von \(x\) sein:
Die Funktionen \( f_n(x) = n \sin(nx) \) im Intervall \([0, \frac{\pi}{n}]\) weisen keine gleichmäßige Konvergenz auf, weil \(\sup_{x \in [0, \frac{\pi}{n}]} |f_n(x)|\) für große \(n\) immer bestehend bleibt, da beispielsweise an den Punkten \(x = \frac{1}{2n}\), \(f_n(x) = n \sin \left(\frac{n}{2}\right) \approx n\), was nicht gegen null geht.
Verhältnis zwischen Integration und Grenzwertbildung:
Schließlich prüfen wir, ob Integration und Grenzwertbildung vertauschbar sind:
Die punktweise Grenzfunktion ist \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\) fast überall auf \([0,1]\) mit Ausnahme der oszillatorischen Bewegung um \(x=0\), das bedeutet:
\(
\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0
\)
Nun berechnen wir \(\lim_{n \to \infty}\left(\int_0^1 f_n(x) \, dx \right)\):
Für jedes \( n \),
\(
\int_0^1 f_n(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{n}} n \sin(nx) \, dx = \left[-\cos(nx)\right]_0^{\frac{\pi}{n}} = 1 - \cos(\pi) = 1 + 1 = 2
\)
Daher ist:
\(
\lim_{n \to \infty}\left(\int_0^1 f_n(x) \, dx\right) = 0
\)
Da die Integrale über \( f_n \) für jedes \(n\) auch zu 0 konvergieren, ist klar, dass Integration und Grenzwert vertauschbar sind, und es gilt:
\(
\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx = \lim_{n \to \infty}\left(\int_0^1 f_n(x) \, dx\right)
\)
Zusammengefasst:
- Punktweise Konvergenz existiert, außer an den Punkten nahe \(x=0\).
- Gleichmäßige Konvergenz liegt nicht vor.
- Integration und Grenzwertbildung können vertauscht werden.
