Ich habe die Lösung der Aufgabe. Ich führe nun den Beweis:
Wir nehmen an, dass f eine stetige Funktion ist. Daher können wir schreiben: $$F(t)=\int \limits_{a}^{t}f(s)ds.$$ Da f stetig ist, ist auch F stetig. Die Funktion hat zwei wichtige Merkmale:
$$\text{ i)} F'(t)=\frac{d}{dt}\int \limits_{a}^{t}f(s)ds=f(t)$$
$$\text{ ii) }F(a)=\int \limits_{a}^{a}f(s)ds=F(a)-F(a)=0 \text{ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.}$$
Unter Verwendung von i) schreiben wir:
$$\int \limits_{a}^{x}f(t)(x-t)dt=\int \limits_{a}^{x}F'(t)(x-t)dt\text{. Nun wenden wir die partielle Integration an}:$$
$$\text{ Die Formel lautet }: \int \limits_{a}^{b}f'(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int \limits_{a}^{b}f(x)g'(x)dx.$$ Also folgt:
$$\int \limits_{a}^{x}F'(t)(x-t)=[(x-t)F(t)]_{a}^{x}+\int \limits_{a}^{x}F(t)dt=0-(x-a)F(a)+\int \limits_{a}^{x}F(t)dt. \text{ Wir verwenden F(a)=0 nach i). Also gilt: }\int \limits_{a}^{x}F(t)dt.$$
Jetzt setzen wir nur noch unsere Definition für F(t) ein und fertig ist der Beweis.