Integral stetiger Funktionen lösen

Question

Hallo zusammen,

ich arbeite zur Zeit an einer Aufgabe, für die ich mir schon ein paar Gedanken gemacht habe. Sie lautet:

Sei I ein Intervall, a∈I und f: I → R eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass für alle x∈I gilt:

$$\int \limits_{a}^{x}f(t)(x-t)dt=\int \limits_{a}^{x}(\int \limits_{a}^{t}f(s)ds)dt$$

Ich habe die folgenden Tipps von meinem Übungsgruppenleiter erhalten:

i) $$\int \limits_{a}^{t}f(s)ds$$ sollen wir uns als Funktion F(t) anschauen

ii) Ableitung von F'(t) anschauen

iii) Partielle Integration anwenden

Nun ist mir noch in den Sinn gekommen, dass wir den Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung benutzen können. Jedoch weiß ich dann nicht mehr weiter.

Über Anregungen freue ich mich sehr:)

Comments

Das sind doch gute Tipps, fang damit mal an anstelle weitere Tipps zu suchen (denn mehr brauchst du nicht).

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Hi Nudger,

dann berichte ich dir mal von meinen Ideen: $$\int \limits_{a}^{x}(\int \limits_{a}^{t}f(s)ds)dt=\int \limits_{a}^{x}F(t)dt=F°(x)-F°(a)$$ $$\text{ nach Tipp und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. }$$ Ich verwende hier F° als Notation für die Stammfunktion von F. Ich weiß auch nicht, ob die Anwendung vom Hauptsatz notwendig ist. Wir interessieren uns noch immer für die Ableitung f(t)=F'(t). Wir wissen, dass f stetig ist, also ist auch F stetig. Vielleicht gehen wir nun so vor: $$\frac{d}{dt}F°(x)-F°(a)=F(t)-F(a)=\int \limits_{a}^{t}f(x)dx\text{ nach Hauptsatz }$$ Ich glaube ich muss nur noch zeigen, dass $$\int \limits_{a}^{t}f(x)dx=\int \limits_{a}^{x}f(t)(x-t)dt\text{ gilt. }$$ Den rechten Teil der Gleichung kann ich mittels partieller Integration berechnen.

Stimmst du mir zu oder bin ich auf dem Holzweg? :)

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Bei der zweiten Rechnung habe ich mich verschrieben. Statt t muss dort x hin und wir schreiben f(t)dt statt f(x)dx.

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Gilt nicht:

∫ (a bis t) f(s) ds = F(t) - F(a)

oder übersehe ich etwas?

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Ich habe die Lösung der Aufgabe. Ich führe nun den Beweis:

Wir nehmen an, dass f eine stetige Funktion ist. Daher können wir schreiben: $$F(t)=\int \limits_{a}^{t}f(s)ds.$$ Da f stetig ist, ist auch F stetig. Die Funktion hat zwei wichtige Merkmale:

$$\text{ i)} F'(t)=\frac{d}{dt}\int \limits_{a}^{t}f(s)ds=f(t)$$

$$\text{ ii) }F(a)=\int \limits_{a}^{a}f(s)ds=F(a)-F(a)=0 \text{ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.}$$

Unter Verwendung von i) schreiben wir:

$$\int \limits_{a}^{x}f(t)(x-t)dt=\int \limits_{a}^{x}F'(t)(x-t)dt\text{. Nun wenden wir die partielle Integration an}:$$

$$\text{ Die Formel lautet }: \int \limits_{a}^{b}f'(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int \limits_{a}^{b}f(x)g'(x)dx.$$ Also folgt:

$$\int \limits_{a}^{x}F'(t)(x-t)=[(x-t)F(t)]_{a}^{x}+\int \limits_{a}^{x}F(t)dt=0-(x-a)F(a)+\int \limits_{a}^{x}F(t)dt. \text{ Wir verwenden F(a)=0 nach i). Also gilt: }\int \limits_{a}^{x}F(t)dt.$$

Jetzt setzen wir nur noch unsere Definition für F(t) ein und fertig ist der Beweis.

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Wenn ich Zeilen lese wie

F(a) = ... = F(a) - F(a) = 0

dann krümmen sich mir die Zehennägel. Ich hoffe dem Übungsleiter geht es nicht ähnlich, Ansonsten tut er mir leid. Aber sicher ist er das gewohnt und abgehärtet.

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Ach, das ist ja noch harmlos. Hier sieht man ja auch regelmäßig von "Helfern" negative oder nicht-reelle Zahlen unter dem Wurzelzeichen...

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Wenn man es detailliert braucht, ist es doch legitim. Besser als das, was wirklich einige Helfer hier loslassen. :)

Answer 1

Dein Beweis ist von der Idee her richtig, aber in der Ausführung an mehreren Stellen lückenhaft.

Wir nehmen an, dass f eine stetige Funktion ist. Daher können wir schreiben: $F(t)=\int \limits_a^tf(s)ds$.

Nein. $F$ ist nicht definiert. Korrekt ist:

"Daher können wir definieren: $F(t):=\int \limits_a^tf(s)ds$ und dieses $F$ ist eine Stammfunktion von $f$."

Die Regel der part. Int. solltest Du für $t$ notieren, nicht für $x$. Das geht im folgenden prompt durcheinander. Die Def. von $g$ fehlt nämlich, ebenso im Integral links das $dt$ (oder doch $dx$?). Die Rollen von $x$ und $t$ sind nämlich das, worauf es hier ankommt!

Also gilt: $\int...$

Mit Verlaub: Unsinn. Terme gelten nie, nur Aussagen.
Schreibe in der Gleichungskette weiter mit "=..., q.e.d.". Fertig.

Comments

Hallo Nudger,

ich habe deine Verbesserungsvorschläge angenommen und geändert. Bei dem Teil mit der partiellen Integration habe ich hier in dem Forumsbeweis Flüchtigkeitsfehler begangen. Auf dem Blatt bei mir gab es die Unvollständigkeiten nicht.

Ich habe noch eine weitere Frage:

Bei ii) krümmen sich dem Mathecoach die Zehennägel. Gibt es da eine andere Methode, wie ich $$-F(a)(x-a)=0$$ bekomme?

Ich danke dir für dein Feedback:)

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Mach dir keine Gedanken über mathecoachs Zehennägel.

Nach der Korrektur, dass $F$ nun als eine Stammfunktion definiert ist, ist alles ok.