fortsetzung stetiger funktionen

Question

Meine Aufgabe :Untersuchen Sie, ob die angegebene Funktion f : R^2 \ {(0, 0)T } → R zu einer auf ganz R^2 stetigen Funktion fortgesetzt werden kann und geben Sie gegebenenfalls den zugehörigen Funktionswert im Punkt(0,0)^T an:

f(x,y)= (x^2+y^2) /(|x| + |y|)

f(x,y)= (x^2*y^2) /(x2 + y2)

Wie muss ich vorgehen ? Ich sitze seit Tagen an der Aufgabe und weiß nicht was ich tun soll.

Comments

Du kannst als Erstes mal die Zeichnungen hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)%3D+(x2%2By2)+%2F(%7Cx%7C+%2B+%7Cy%7C) anschauen.

Das Bild sieht aus, wie eine Früchteschale oder vielleicht eine Blumenvase. Nr. 1 kann vermutlich stetig fortgesetzt werden.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)%3D+(x2*y2)+%2F(x2+%2B+y2)

Sieht noch weniger zerknittert aus. Taugt aber nicht als Wasserbehälter .

Answer 1

Hallo

den Grenzwert für x,y gegen 0 bestimmen, wenn er existiert, kann man die funktion mit diesem GW stetig erganzen. Hier durch f(0,0)=0

 die einfachste methode hier in jeder Umgebung von (0,0) kann man x=r*cos(φ), y=r*sin(φ) setzen und dann r gegen 0, wenn der GW unabhängig von φ  existiert,  ist er dann ja für alle x,y->0 gültig.

Gruß lul

Answer 2

  Allerherzliebste Sandra;  nachdem du gehört hast, was man tun  KÖNNTE  .  In der ersten Funktion setze  ich

      m  :=  y / x       (  1  )

                                      x ² ( 1 + m ² ) 

   f1  (  x  ;  y  )  =    ---------------------------  =     (  2a  )

                                    | x | ( 1 + | m | )

                             1 + m ²

      =   | x |       ---------------------        (  2b  )

                           1 + | m |

     Dieser Bruch ist natürlich unbestimmt, da m im Ursprungf nicht definiert ist.  Aber der Betragsfaktor geht ja gegen Null; also Null .  Und bei der zweiten   Funktion kannst du direkt durch x ² kürzen:

                                           y ²

      f2  (  x  ;  y  )  =      ----------------     (  3  )

                                       1 + m ²