Text erkannt:
Sei \( X \) eine Menge, \( \leq \) eine partielle Ordnung auf \( X \) und \( Y \subseteq X \).
Falsche Definition: \( x \in X \) heißt Sup-Falsch von \( Y \), wenn \( x \) eine minimale obere Schranke ist, d.h. wenn gilt \( x \) ist obere Schranke von \( Y \) und es existiert kein \( x^{\prime} \neq x \) mit \( x^{\prime} \leq x \) und \( x^{\prime} \) ist obere Schranke von \( Y \).
Korrekte Definition: \( x \in X \) heißt Supremum von \( Y \), wenn \( x \) eine minimale obere Schranke ist, d.h. wenn gilt \( x \) ist obere Schranke von \( Y \) und für jede obere Schranke \( x^{\prime} \) von \( Y \) gilt \( x \leq x^{\prime} \).
(a) Finden Sie ein Beispiel, in dem die beiden Definitionen unterschiedliche Resultate liefern. (Mögliche Unterschiede könnten sein: Verschiedene Elemente als Supremum, Existenz vs. Nicht-Existenz eines Supremums, Eindeutiges Supremum vs. mehrere Suprema.)
(b) Versuchen Sie möglichst genau zu beschreiben, in welchen Situationen die beiden Definitionen überhaupt unterschiedliche Resultate liefern können.
Können solche Fälle nur in partiellen Ordnungen, nur in totalen Ordnungen, oder in beiden Fällen auftreten?
(c) Begründen Sie, wieso das korrekt definierte Supremum eindeutig bestimmt ist, falls es existiert.
ich komme hier leider nicht so wirklich weiter!!
