Polynomfunktion auf ihre lineare Unabhängigkeit überprüfen

Question

Hallo, ich kann mir diese Aufgabe einfach nicht "bildlich" vorstellen und bräuchte deswegen Eure Hilfe!

Ich weiß, dass Polynomfunktionen (bzw. Funktionen) ebenfalls Vektoren sein können und somit auf ihre lineare Unabhägigkeit überprüfbar sind, aber ich komm irgendwie bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Im ℝ-Vektorraum ℝ^ℝ= Abb(ℝ,ℝ) betrachtet man die Polynomfunktionen f_k: ℝ → ℝ: x ↦ x^k

Zeigen Sie, dass die Familie (f_k)_k∈ℕ linear unabhängig ist.

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Mit "vorstellen" ist es da etwas schwierig. Nimm einfach die

Definition der lin. Unabhängigkeit. Da wäre hier zu zeigen:

Wenn es a0, a1, a2 ,...  aus ℝ gibt mit

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n = 0 $$

Rechts steht also das 0-Polynom, d.h. die Summe ist für

alle x∈ℝ gleich 0 , dann ist wohl klar, dass alle

a_n gleich 0 sein müssen, also ist die gegebene

Familie lin. unabhängig.

Comments

super vielen dank!