Überprüfen Sie die Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. Stellen Sie den Vektor als Linearkombination …

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie die Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. Stellen Sie, falls möglich, jeweils den ersten Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren dar.

a) \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 1\end{array} \right) ;\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 5\end{array}\right) \)

b) \( \left(\begin{array}{r}7 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) ;\left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}3 \\ -6 \\ 3\end{array}\right) \)

c) \( \left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ -3\end{array}\right) ;\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) ;\left( \begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array} \right) \)

d) \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-6 \\ -4 \\ 2\end{array}\right) ;\left(\begin{array}{r}-6 \\ -3 \\ 6\end{array}\right) \)

e) \( \left(\begin{array}{r}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 2\end{array} \right) ;\left(\begin{array}{r}4 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ -1\end{array}\right) \)

Musterlösungen:

a) linear unabhängig

b) linear abhängig

c) linear unabhängig

d) linear abhängig, \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}-6 \\ -4 \\ 2\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}-6 \\ -3 \\ 6\end{array}\right) \)

e) linear abhängig, \( \left(\begin{array}{r}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)=\frac{17}{26} \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)-\frac{1}{26} \)
\( \left(\begin{array}{r}4 \\ -3 \\ 2\end{array}\right)+\frac{3}{13} \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ -1\end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Problem mit der linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit. Wie komme ich auf die Musterlösungen?

Vektoren: komplanar, kollinear, Linearkombination, linear abhängig / unabhängig

Comments

Und was bedeutet trivial?

Triviale Lösung ist in diesem Zusammenhang die Nulllösung, die es immer gibt.

s*a + t*b + r*c = 0

hat immer die Lösung (0,0,0) für die Parameter (s,t,r).

Wenn das die einzige Lösung ist, sind die 3 Vektoren a,b und c linear unabhängig.

Answer 1

Du kommst ja selbst auf linear abhängig. Sollst aber offenbar eine explizite Zerlegung angeben:

Ansatz war ja

c = s*a + t*v

0  -2 -3 |0

sagt dir

-2s + (-3t) = 0

-2s = 3t

s = -1.5t

Ausserdem hast du 

1 - 6s - 6t = 0 , s = -1.5t einsetzen

1 +9t - 6t = 0

1 + 3t = 0

3t = -1

t = -1/3

Jetzt noch s= -1.5t = -1.5 * (-1/3) = 1/2

Daher

c = 1/2*a  - 1/3*v

Answer 2

Trivial bedeutet einfach. Linear abhängig bedeutet ein Vektor lässt sich als linearkombination der anderen darstellen.

x·[-6, -4, 2] + y·[-6, -3, 6] = [1, 1, 1]

Die ersten zwei Zeilen geben das Gleichungssystem

- 6·x - 6·y = 1
- 4·x - 3·y = 1

Kannst du das selber Lösen. Du erhältst: x = - 1/2 ∧ y = 1/3. Wir prüfen also

- 1/2·[-6, -4, 2] + 1/3·[-6, -3, 6] = [1, 1, 1]

Das stimmt und damit sind die Vektoren linear abhängig.

Comments

Und was ist mit z? diese fällt einfach weg?

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Man sagt aber auch: Wenn es nur die triviale Lösung gibt, sind die Vektoren linear unabhängig. 

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@Lu: Das sind 2 verschiedene Ansätze.

Zum einen

x·[-6, -4, 2] + y·[-6, -3, 6] = [1, 1, 1]

oder 

x·[-6, -4, 2] + y·[-6, -3, 6] + z·[1, 1, 1] = [0, 0, 0]

Im letzteren Fall gibt es dann nur die Triviallösung.
Im ersten Fall gibt es nur eine Lösung.

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Und was ist mit z? diese fällt einfach weg?

Um ein lineares Gleichungssystem zu bestimmen braucht man 2 Gleichungen die linear unabhängig sind. Daher kann ich mir hier 2 aussuchen, soweit sie linear unabhängig sind. Die 3. Gleichung muss aber auch stimmen daher wird sie am Ende überprüft.

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Sorry. Das hätte ich nochmals so explizit machen sollen, wie ich es in meinem Kommentar zum Kommentar von Gast gemacht habe. In welchem Zusammenhang der Gast trivial nicht verstanden hat, weiss ich nicht.

Answer 3

GLS sind jedesmal anders, darum gibt es nie den Trick. Bin selbst schon öfter aufgelaufen. Du bildest zuerst die drei Gleichungen I,II und III aus den 3 Zeilen für x, y und z. Das ist dein Gleichungssystem mit 2 Variablen.

I    1=-6x-6y                                                                                                     

II   1=-4x-3y       Ich suche mir y zum Eliminieren aus und multipliziere Gleichung II mit (-2) ->                                                         die neue Gleichung  heißt II`       -2 =8x+6y

III  1=-6x-3y                                                                                                                               

    Gl I und die neue Gl II` werden untereinandergeschrieben und addiert, damit y rausfällt :   

In der Summe ergibt sich                     -1 =2x                            I  : 2

                                                             -1/2 = x

Wenn dieses x in irgendeine der Ausgangsgleichungen eingesetzt wird, kann man durch Umstellen auch das y errechnen (spar ich jetzt ein). Hoffe, das hilft dir noch so spät.