lineare unabhängigkeit mit menge und vektor

Question

ich bräuchte mal eure Hilfe zu einer Aufgabe.

und zwar muss ich überprüfen, ob die folgenden Menge an Vektor des Vektorraums über K linear abhängig oder unabhängig ist:

1) V₂ = { p = a₀ + a₁x+a₂x²+a₃x³ : a_i  ∈ ℝ , 1≤ i ≤ 3}, K₂ = ℝ und M₂ ={ 3, x-5, x² +10x, x³ }

2) V₃ = { p = a₀ + a₁x+a₂x²+a₃x³ : a_i  ∈ ℝ , 1≤ i ≤ 3}, M₃ ={ 2,x²  -x -1, x² +x, x }

bei 2) muss ich zeigen das es linear abhängig ist

Answer 1

Da machst du den Ansatz (Linearkomb. der Vektoren gleich Null setzen)

3*a   +( x-5)*b   +  c*(x² +10x)  +  d* x³  = 0

d*x^3  + c*x^2     +(10c+b)*x   +  (3a-5b) = 0

damit rechts das Nullpolynom rauskommt muss gelten

d=0    c=0      10c+b = 0    und  3a-5b = 0

dann hast du ja c und d und wenn du nun b und a ausrechnest,

siehst du: Es geht nur wenn alle 4 Variablen = 0 sind.

D.h. die gegebenen 4 Vektoren sind lin. unabh.

Im anderen Fall wirst du sehen, dass es auch Lösungen mit mindestens einem

der abcd ungleich Null gibt.

Comments

danke für deine Antwort, hab da ein Fehler gemacht und zwar soll es nicht x^3 heißen sondern x^2, ist

es dann immer noch linear unabhängig??