DGL y' - e^y = 0 lösen mit Probe

Question

Hallo :)

Ich war gerade dabei diese Differentialgleichungen zu lösen, aber irgendwie komme ich damit nicht klar. Auch die Probe verwirrt mich leider total :(

Kann mir jemand eine Aufgabe vorrechnen?

a) y' - y^2 cos(x) = 0

b) y' = -xy

c) y' = (1+y^2)/x

d) y' - e^y = 0

e) y' = y/x

Answer 1

Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen:

d) y' - e^y = 0

y'= dy/dx

->

dy/dx - e^y = 0 | +e^y

dy/dx  =  e^y |*dx

dy= e^y dx |: e^y

⌋dy/e^y = ⌋dx

- e^(-y)= x+C |*(-1)

e^(-y)= -x -C |ln(..)

ln( e^(-y)) = ln (-x -C )

-y ln(e)  = ln (-x -C )   ------>ln(e)=1

-y = ln (-x -C ) 

y = - ln (-x -C ) 

Probe:

y = - ln (-x -C ) 

y'= 1/(-x-C)

Einsetzen von y und y' in die Aufgabe:

y' - e^y = 0

1/(-x-C)  - e^(- ln (-x -C )) =0

1/(-x-C)  - 1/(-x-C)  =0

linke Seite = rechte Seite , d.h y ist die Lösung der DGL