Nach Wurzelkriterium ist $$\sqrt[k]{| a_k |} = \sqrt[k]{ | \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^{k-1}} | } = \sqrt[k]{1+a^2} \cdot \frac{a^2}{1+a^2}$$ was für k gegen unendlich gegen $$\frac{a^2}{1+a^2}$$ geht. Die Reihe konvergiert absolut, wenn $$\frac{a^2}{1+a^2} < 1 \Leftrightarrow 0 < 1$$, also immer, d.h. die Reihe konvergiert absolut $$\forall a \in \mathbb{R}$$.
Weiterhin ist
$$s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^{k-1}} = (1+a^2) \cdot \sum_{k=1}^{n} (\frac{a^2}{1+a^2})^k = (1+a^2)(\sum_{k=0}^{n}(\frac{a^2}{1+a^2})^k - 1)$$
was für n gegen unendlich gegen (beachte geometrische Reihe) $$(1+a^2)(\frac{1}{1-\frac{a^2}{1+a^2}}) - 1) = (...) = a^4 + a^2$$
geht. Der Grenzwert der Folge ist also $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^{2k}}{(1+a^2)^{k-1}} = a^4 + a^2$$.
