Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit f(x) = e^-0,5x mit der x-Achse im Intervall [0;3] …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit f(x) = e^-0,5x mit der x-Achse im Intervall [0;3] einschließt und berechnen Sie den Flächeninhalt im Intervall [0;b].

Answer 1

Aloha :)

Wir machen zuerst Teil b)$$A(b)=\int\limits_0^be^{-\frac{1}{2}x}dx=\left[\frac{e^{-\frac{1}{2}x}}{-\frac{1}{2}}\right]_0^b=\left[-2e^{-\frac{1}{2}x}\right]_0^b=-2e^{-\frac{1}{2}b}-(-2)$$$$\phantom{A(b)}=2-2e^{-\frac{1}{2}b}=2\left(1-e^{-\frac{1}{2}b}\right)$$In Teil a) ist nun speziell \(b=3\), sodass$$A(3)=2\left(1-e^{-\frac{1}{2}3}\right)\approx1,553740$$

Comments

Deine Rechnung finde ich deutlich einfacher zu verstehen, aber kannst du mir den zweiten Schritt der ersten Rechnung erklären? Ich dachte es würde [-0,5e^-0,5x] rauskommen anstatt [-2e^-0,5x]. Ich habe es so gelernt, dass man einfach die Zahl beim Exponenten runter nimmt und vor das e schreibt. Und muss in der Klammer nicht (-2e) stehen?

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Beim Ableiten schreibst du die innere Ableitung als Faktor vor den Term. Beim Integrieren kannst du einfach durch die innere Ableitung divideren, falls(!) diese innere Ableitung eine Konstante ist. Falls es keine Konstante ist, musst du den Substituitons-Mechansimus anwenden. Hier ist die innere Funktion \((-\frac{1}{2}x)\) und die innere Ableitung \((-\frac{1}{2})\) ist eine Konstante. Daher habe ich einfach dividert.

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Achso, jetzt verstehe ich es. Danke.

Answer 2

Text erkannt:

\( A=\int \limits_{0}^{3} e^{-0,5 x} \cdot d x= \)
\( -\frac{1}{2} x=u \)
\( x=-2 u \)
\( d x=-2 d u \)
\( -2 \int e^{u} \cdot d u=-2 e^{u}+C \rightarrow-2 e^{-\frac{1}{2} x}+C \)
\( \quad A=\left[-2 e^{-\frac{1}{2} x}\right]_{0}^{3}=\left[-2 e^{-\frac{3}{2}}\right]-\left[-2 e^{0}\right] \approx 1,553( \) mit Wolfram \( ) \)

Comments

Ich verstehe das nicht so ganz. Was bedeutet u?

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Ich habe da  - \( \frac{1}{2} \) x mit u substituiert, um das Integral lösen zu können.

In der letzten Zeile wurde das u wieder durch  - \( \frac{1}{2} \) x ersetzt.