y^2+1+(x^2 +1)y‘=0 mit y(1)=1

Question

Ich habe folgende Gleichung vorliegen:

-arctan(y)=arctan(x)+c

Mit der Anfangsbedingung y(1)=1

Ich möchte nun die Gleichung nach x auflösen und für c eine Zahl angeben können.

Problem/Ansatz:

-arctan(y)=arctan(x)+c

Die Umkehrfunktion vom arctan ist der tan demnach gilt:

-y(x)= x + tan(c)

y(x)= -x - tan(c)

Mit der Anfangsbedingung:

y(1) = -1 - tan(c)

Das soll 1 ergeben also müsste tan(c)= -2 sein.

-2=tan(c)

Die umkehrfunktion vom tan ist arctan und folglich

arctan(-2)=c

Demnach gilt dann y(x)=-x-tan(arctan(-2))

Stimmt das so? Es ist für eine wichtige Abgabe deshalb würde ich gerne wissen ob diese Schreibweise mit tan(arctan(x)) üblich ist oder man das nochmal vereinfachen kann. Lg

Answer 1

Hallo,

Wie lautet die genaue Aufgabe?

-arctan(y)=arctan(x)+c ; Mit der Anfangsbedingung y(1)=1

Du kannst doch den Wert direkt einsetzen:

-arctan(1)=arctan(1)+c

- π/4= π/4 +C

C= -π/2

Comments

Wär meine Rechnung dann falsch oder einfach nur umständlicher?

Ich hab ja dann

 -arctan(y)=arctan(x)- Pi/2

Und schließlich

y(x) =-x+tan(Pi/2)

Richtig?

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-arctan(y)=arctan(x)- Pi/2  | *(-1)

arctan(y)= -arctan(x) + Pi/2  | Beide Seiten tan nehmen

tan(arctan(y))= tan(-arctan(x) + Pi/2)

y=  tan(-arctan(x) + Pi/2)

Wie lautet die genaue Aufgabe ?

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Erstmal vielen Dank für die Hilfe,

Die Aufgabe bestand darin, die Lösung des Anfangswertproblems

y^2+1+(x^2 +1)y‘=0 mit y(1)=1 zu berechnen. Durch die Trennung der Variablen ergibt sich schließlich

-arctan(y)=arctan(x)+c

Ich hätte da noch ein Frage,

y(x)=tan(-arctan(x)+Pi/2)

Ist doch y(x)=-x+ tan(Pi/2) oder?

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Hallo,

dieser Weg ist richtig:

-arctan(y)=arctan(x)- Pi/2  | *(-1)

arctan(y)= -arctan(x) + Pi/2  | Beide Seiten tan nehmen

tan(arctan(y))= tan(-arctan(x) + Pi/2)

y=  tan(-arctan(x) + Pi/2)

y=1/x

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung.