Berechne die Größe des Winkels y und die Länge der beiden Seiten a und b und berechne dann: A= ½*a*b*sinY.

Question

Aufgabe: Gegeben ist ein Gleichschenkliges Dreieck mit a= b, beta=72° und c= 12cm.

Problem/Ansatz: Berechne die Größe des Winkels y und die Länge der beiden Seiten a und b und berechne dann: A= ½*a*b*sinY. Was fällt dir auf? Kannst du dafür eine Erklärung finden?

Answer 1

die Fläche wurde mit der Höhe h_a berechnet.

\(sin \gamma=\frac{h_a}{b}\)

\(h_a=sin \gamma\cdot b\)

Dreiecksfläche ist Grundlinie · zugehöriger Höhe · 1/2 ; hier also

\(A=\frac{1}{2}  h_a \cdot a\) ; das oben beschriebene h_a eingesetzt ergibt

\(A=\frac{1}{2}  sin \gamma\cdot b \cdot a\)

Answer 2

Zeichne die Höhe hc ein, die ist zugleich die

Mittelsenkrechte von c. Dann gilt

cos(ß)=a / (c/2)

a=0,5c / cos(ß)  = 6cm / 0.3090 =19,4cm.

Und γ= 180° - 2ß =36°

Gibt A=110,6cm^2.

Answer 3

α+β+γ = 180°

α=β = 72°

144°+γ = 180°

γ= 36°

A= c*h/2

h bestimmen:

tan72° = h/(c/2) = h/6

h= 18,47 cm

a^2= h^2+(c/2)^2

a= 19,42 cm

A= 1/2*a*b*sin36° = 110,80 cm

Answer 4

Hallo,

dass \(\gamma=36^\circ\) ist, dürfte klar sein.

\(\dfrac{h_c}{c/2}=\tan\beta\Rightarrow h_c=\dfrac c2 \tan\beta\)

Damit ist der Flächeninhalt

 \(A=\dfrac12 ch_c=\dfrac14 c^2\tan\beta\\=\dfrac14\cdot12^2\tan72^\circ\approx110,7966\)

Nun zu a und b:

\(a=b=\sqrt{h_c^2+\frac14c^2}=\sqrt{\frac14c^2(1+\tan^2\beta)}\\=\dfrac12c\cdot\dfrac{1}{\cos\beta}\\=\dfrac12\cdot12\cdot\dfrac{1}{\cos72^\circ}\approx19,4164\)

\(A=\dfrac12ab\sin\gamma=\dfrac{c^2}{8\cos^2\beta}\cdot\sin\gamma\approx110,7966\)

Ein Vergleich der beiden Flächenberechnungen ergibt

\(\tan\beta=\dfrac{\sin\gamma}{2\cos^2\beta}\)

bzw.

\(2\sin\beta\cos\beta=\sin\gamma\)

Das entspricht

\(2\sin 72^\circ \cos 72^\circ= \sin36^\circ\)