Terme weglassen beim Limes

Question

Hallo liebes Forum,

in Kürze schreibe ich meine erste Analysis-Klausur und ich habe folgende Frage:

Die Aufgabe sei: Bestimmen Sie

lim n->∞ ((n^3+n^2+1) / 3n^2) - n^3 / (3n^2+1)

Mein Vorgehen ist: gemeinsamen Nenner finden, ausmultiplizeren, sodass nur noch Summanden übrig bleiben und dann jeweils im Zähler und Nenner die höchste Potenz stehen lassen. Es ergibt sich:

lim n->∞ (3n^4 / 9n^4) = 1/3

Soweit so gut. Ich frage mich nun, ob man formell begründen muss, warum man die höchsten Potenzen stehen lässt und den Rest ignorieren kann. Intuitiv ist mir das klar (im Unendlichen kann man die restlichen Terme vernachlässigen) aber reicht das auch für die volle Punktzahl?

Schonmal

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich deinem Vorgehen folge und beide Brüche zusammenfasse, erhalte ich:$$a_n=\frac{3n^4+3n^3+4n^2+1}{9n^4+3n^2}$$Du hast also im Zähler und Nenner alle Terme bis auf die mit den höchsten Exponenten weggelassen. Dazu müsstest du etwas schreiben, warum das möglich ist. Das kann aber je nach Korrektor mit einer gewissen Willkür ausgelegt werden. Alternativ dazu kannst du den Bruch auch mit \(n^4\) kürzen und danach die Grenzwertsätze anweden:

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3+\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{9+\frac{3}{n^2}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(3+\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(9+\frac{3}{n^2}\right)}$$$$\phantom{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}3+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3}{n}+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4}{n^2}+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}}{\lim\limits_{n\to\infty}9+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3}{n^2}}=\frac{3+0+0+0}{9+0}=\frac{1}{3}$$