Lösen von homogener DGL höherer Ordnung

Question

Aufgabe:

Ich möchte die nachfolgende homogene GDL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten berechnen:

y^(4)-y´´´+y´´-y´=0

Problem/Ansatz:

Leider steht im Skript kein Ansatz zur Berechnung einer solchen GDL.

Mein Ansatz wär zunächst folgendermaßen:

x^4-x^3+x^2-1=0

Nullstellen bestimmen: 1, -0,682

allgemeine Lösung: y(x)=exp((k^4-k^3+k^2)*x)-> fehlt hier die -1 oder nicht?

Wofür brauch ich jetzt die Nullstellen und wie kann ich weiter machen?

Answer 1

Hallo,

y''''-y´´´+y´´-y´=0

->

charakteristische Gleichung:

k^4 -k^3 +k^2 -k=0

k(k^3 -k^2 +k -1)=0

k(k-1)(k^2+1)=0

k1=0

k2=1

k3,4= ± i

-->

\( y(x)=c_{1}+c_{2} \cos (x)+c_{3} \sin (x)+c_{4} e^{x} \)

Comments

vielen Dank, ich verstehe alles bis auf die letzte Zeile. Da habe ich leider nicht annähernd eine Ahnung wie man darauf kommt.

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siehe hier:

https://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 2; Punkt1 (3 mögliche Fälle)

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Ah ja ok das ergibt dann auch Sinn, vielen Dank.

Ich hätte noch eine letzte Frage, wenn mir die nachfolgende Gleichung gegeben ist:

y^(4)-4y´´´+15y´´-22y´+10y

Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom

k^4-4k^3+15k^2-22k^1+10k^0 und demnach k^4-4k^3+15k^2-12k

mit k(k^3-4k^2+15k-12)=0

und somit

k1=0

k2=1

k3,k4=±i

Dann hätte ich ja wieder dasselbe Ergebnis wie oben, was mache ich falsch?

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y^(4)-4y´´´+15y´´-22y´+10y=0

Dann erhalte ich als charakteristisches Polynom:

k^4-4k^3+15k^2-22k+10=0

(k-1)^2 (k^2-2k+10)=0

k_1,2= 1

k_3,4= 1± 3i

---->

\( y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{x} x+c_{3} e^{x} \cos (3 x)+c_{4} e^{x} \sin (3 x) \)