Aloha :)
Ich würde hier einfach in der zeitlichen Reihenfolge vorgehen...
Geplant war, dass die Gemeinde ein Kapital \(K_0\) zu 5% Zinsen für 21 Jahre fest anlegt. Das sollte am Ende auf 175000 GE anwachsen:$$K_0\cdot1,05^{21}=175000$$
Nach 13 Jahren ändert die Bank den Zinssatz auf \(p\) Prozent. Die Gemeinde legt zu diesem Zeitpunt noch 17046,33 GE hinzu. Nach 13 Jahren beträgt das bei der Bank liegende Kapital also$$K_0\cdot1,05^{13}+17046,33$$
Dieses Kapital wird nun für weitere 8 Jahre mit dem neuen Zinssatz \(p\) verzinst und soll am Ende die gewünschten 175000 GE erzielen:
$$(K_0\cdot1,05^{13}+17046,33)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^8=175000$$
Aus der ersten Gleichung erhalten wir \(K_0=\frac{175000}{1,05^{21}}\) und finden:
$$\left.\left(\frac{175000}{1,05^{21}}\cdot1,05^{13}+17046,33\right)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^8=175000\quad\right|\text{links vereinfachen}$$$$\left.\left(\frac{175000}{1,05^{8}}+17046,33\right)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^8=175000\quad\right|:\,\left(\frac{175000}{1,05^{8}}+17046,33\right)$$$$\left.\left(1+\frac{p}{100}\right)^8=\frac{175000}{\left(\frac{175000}{1,05^{8}}+17046,33\right)}\quad\right|\sqrt[8]{\cdots}$$$$\left.1+\frac{p}{100}=\sqrt[8]{\frac{175000}{\left(\frac{175000}{1,05^{8}}+17046,33\right)}}\quad\right|-1$$$$\left.\frac{p}{100}=\sqrt[8]{\frac{175000}{\left(\frac{175000}{1,05^{8}}+17046,33\right)}}-1\quad\right|\cdot100$$$$\left.p=100\cdot\left(\sqrt[8]{\frac{175000}{\left(\frac{175000}{1,05^{8}}+17046,33\right)}}-1\right)\quad\right|\text{Taschenrechner}$$$$p=3,250000$$
Die Bank hat den Zinssatz also von \(5,00\%\) auf \(3,25\%\) gesenkt. Die gesuchte Differenz ist daher \(1,75\%\).
