Bestimmt die Ableitung der Funktion an der stelle x0= 2

Question

Hallo

Bestimmt nährweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0=2 mithilfe des Differenzenquotienten für h->0 wie im Beispiel a).

a) f(x) x²

Kann mit jemand sagen wie man das bei der Aufgabe rechnet weil ich habe das nicht so ganz verstanden

c) f(x) 2x² -3

Answer 1

f(x) = 2x² -3  gleicher Ansatz wie bei a)  

(f(2+h)-f(2))/h =   ( 2(2+h)^2 - 3 - 5 ) / h = (2h^2 + 8h)/h

h ausklammern und kürzen gibt  2h + 8.

Und für h gegen 0 also f ' (2) = 8.

Answer 2

Differenzenquotient=\( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) . Um diesen zu berechnen, brauchen wir insbesondere

f(x+h)=2·(x+h)²-3=2·(x²+2xh+h²) - 3=2x²+4xh+2h²-3

Dann ist f(x+h) - f(x)=4xh+2h² und \( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)=\( \frac{4xh+2h^2}{h} \)=4x+2h. Für h=0 ist dieser umgeformte Differenzenquotient gleich 4x und an der Stelle x₀=2 ist er 4·2=8.