Berechnen Sie den Flächeninhalt den die Graphen der Funktionen f und g über dem Intervall I= [a;b] miteinander …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt den die Graphen der Funktionen f und g über dem Intervall I= [a;b] miteinander einschließen.

f(x)=x^3, g(x)=x^2+2x

Problem/Ansatz:

ich komme bei der Aufgabe weiter.

Ich weiß nur, dass g(x)-f(x) gerechnet werden muss.

Answer 1

Berechnen Sie den Flächeninhalt den die Graphen der Funktionen f und g über dem Intervall I= [a;b] miteinander einschließen.

f(x)=x^3, g(x)=x^2+2x

Text erkannt:

\( f(x)=x^{3} \)
\( g(x)=x^{2}+2 x \)
\( A=\int \limits_{a}^{b}\left(x^{3}-x^{2}-2 x\right) \cdot d x=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\right]_{a}^{b}=\left[\frac{b^{4}}{4}-\frac{b^{3}}{3}-b^{2}\right]-\left[\frac{a^{4}}{4}-\frac{a^{3}}{3}-a^{2}\right] \)

Comments

Drei Fragen habe ich noch.

1) Wieso rechnet man x³-x²-2x, müsste das nicht +2x sein?

2) Und wie kommt man von z.B. x³ auf x⁴ / 4? Hat das etwas mit der Stammfunktion zu tun?

3) Wie komme ich auf die Werte für a und b? Ich habe zwar ein Koordinatensystem gegeben, aber daraus kann man die nicht ablesen. Gibt es dafür noch einen anderen Weg?

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"1) Wieso rechnet man x^3-x^2-2x, müsste das nicht +2x sein?"

f(x)-g(x) = x^3 - (x^2+2x) = x^3-x^2-2x

"2) Und wie kommt man von z.B. x^3 auf x^4 / 4? Hat das etwas mit der Stammfunktion zu tun?"

Ja :  \( \int\limits_{}^{} \) x^3*dx = \( \frac{x^4}{4} \)+C

"3) Wie komme ich auf die Werte für a und b? Ich habe zwar ein Koordinatensystem gegeben, aber daraus kann man die nicht ablesen. Gibt es dafür noch einen anderen Weg "

Das Intervall muss angegeben sein. Hier kannst du a bzw. b nicht berechnen.

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Ok super, danke!

Answer 2

Aloha :)

Hier musst du die Differenz der Funktionen bilden und von einer Nullstelle zur nächsten integrieren. Wir bilden zuerst die Differenzfunktion:$$d(x)\!\!\coloneqq f(x)-g(x)=x^3-(x^2+2x)=x^3-x^2-2x=x(x^2-x-2)$$$$\phantom{d(x)}=x(x-2)(x+1)$$Die Nullstellen sind \(-1\), \(0\) und \(2\). Daher lautet die Fläche zwischen beiden Funktionen:

$$F=\left|\int\limits_{-1}^0d(x)dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2d(x)dx\right|=\left|\int\limits_{-1}^0\left(x^3-x^2-2x\right)dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2\left(x^3-x^2-2x\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{0}^2\right|=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{37}{12}$$

Die Differenzfunktion \(d(x)\) sieht so aus:

~plot~ x^3-x^2-2x ;[ [-2|3|-3|2]] ~plot~

Comments

Danke, allerdings verstehe ich nicht wieso man bei der Berechnung der Nullstellen auf einmal ein - anstatt ein + hat?

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Du musst ja den \(x\)-Wert finden, für den der Linearfaktor zu null wird. Z.B. wird \((x-2)\) für \(x=2\) zu null.

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Super, danke!