Dreieck und Parallelprojektion, Wert und Lage berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten A(10; 5; 5), B(5;−4; 0) und C(−10;−15; 10). Durch eine Parallelprojektion entsteht auf der Ebene (E: −x+ 2y+z= 8) ein Bild des Dreiecks ABC. Dabei ist der Punkt A1(9; 4;a) das Bild des Punktes A bei dieser Projektion.

Problem/Ansatz:

Berechne den Wert a der dritten Koordinate des Punktes A1 unf bestimme die Lage der Bildpunkte von B und C auf der Ebene.

Kann mir jemand helfen, wie ich vorgehen muss?

Answer 1

Ganz schön schrittweise:

(1.)  Dritte Koordinate a des Bildpunktes A₁ mittels Ebenengleichung von E berechnen.

(2.)  Der Vektor d = AA₁ ist der Richtungsvektor für die gesamte Projektionsabbildung.

(3.)  Parallelen b (durch B) und  c (durch C) mit diesem Richtungsvektor d  mit der Ebene E schneiden. Die Schnittpunkte sind die gesuchten Bildpunkte B₁ und C₁ .

Comments

Also ich habe jetzt a ausgerechnet und komme auf 9 also A₁(9;4;9)

Den zweiten Teil verstehe ich noch nicht ganz, wie ich B und C ausrechnen kann.

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OK

Für den Richtungsvektor der Projektion haben wir also

d = (-1 | -1 | 4)

Um den Punkt B abzubilden, betrachten wir nun B₁:

B₁ = B + t · d = (5 | -4 | 0) + t · (-1 | -1 | 4)

= (5-t | -4-t | 4t)

Da dieser Punkt in der Ebene E liegen soll, müssen seine Koordinaten die Gleichung von E erfüllen. Aus der entstehenden Gleichung kannst du t ausrechnen und damit die Koordinaten von B₁  ermitteln.

Analoge Rechnung dann auch noch für den Bildpunkt C₁ .