Ist meine Lösung richtig zu Matrizen Aufgaben?

Question

Aufgabe:

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) B = \( \begin{pmatrix} cosα & sinα & 0 \\ -sinα & cosα & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Matrix A beschreibt die Spiegelung eines Raumpunktes an der x, y -Ebene und Matrix B stellt die Drehung
des räumlichen Koordinatensystems um die z-Achse um den Winkel α dar.

(a) Zeigen Sie, dass beide Matrizen orthogonal sind.
(b) Bestimmen Sie die Inversen beiden Matrizen.
(c) Schreiben Sie folgende Matrizen:
(i) Eine Matrix, die die Spiegelung eines Raumpunktes an der x, z-Ebene beschreibt,
(ii) Eine Matrix, die die Drehung des räumlichen Koordinatensystems um die y-Achse um den
Winkel β beschreibt.

Meine Lösungen:

(a) Beide Matrizen sind Orthogonal. Wenn man "A * A^T = I" berechnet. Also beide Orthogonal.
(b) Inverse von A^-1 = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) Inverse von B^-1 = \( \begin{pmatrix} cos(α) & -sin(α) & 0 \\ sin(α) & cos(α) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

(c) (i): A* = \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

(ii) B* = \( \begin{pmatrix} cos(β) & -sin(β) & 0 \\ sin(β) & cos(β) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Habe ich es richtig gelöst? Könnt ihr mir helfen bitte..

Answer 1

a) und b) sind richtig

c) (i) Ist nicht richtig. Wo landet (1|1|1), wenn man an der xz-Ebene spiegelt? Wo landet (1|1|1), wenn man A* anwendet?

c) (ii) Ist nicht richtig. B* ist die inverse Matrix von B (falls α = β) ist. Wendet man nacheinander Matrix und inverse Matrix an, dann landet man dort wo man hergekommen ist. Das ist ja gerade die Definition von inverse Matrix.

Comments

Achso ok schade.. Ich versuche es jetzt so wie sie es beschrieben haben.. danke :)

Könnten Sie mir bitte zeigen wie es dann als "Lösung" aussieht, damit ich es dann vergleichen kann?:)