bei folgender Aufgabenstellung bin ich mir bei der Beweisidee nicht sicher, ob sie vollständig ist:
Sei π:A - > A Parallelprojektion. Zeigen Sie: Die Fasern von π sind (parallele) affine Unterräume mit (dem selben) Richtungsvektorraum ker p.
Nun ist r,x ∈ A = r + X Punkt des aff. Raumes A, t ∈ A ein Fixpunkt, v ∈ X = {x - o | o ∈ X} Vektor und <a*,v> ≠ 0 Linearform bzw. duale Paarung von v mit a* ∈ X*. Nach Definition ist die Parallelprojektion durch
$$ \pi(x) = (x-t) - kv + t ~~, ~~ k = {{< a^*,x-t>} \over {< a^* , v >}} \in K$$
erklärt. Der lineare Anteil p(x-t) = (x-t) - kv ist dabei die Projektion. Nun ist bei der Projektion von ker(a*) in Richtung [v]lin die Bauform der Vektoren aus dem Richtungsvektorraum $$ X = [v]_{lin}\oplus ker (a^*)$$Die Faser ist nun $$ \pi^ {-1}(\lbrace x \rbrace ) = \lbrace b \in A | \pi(b) = \pi(x) \rbrace$$ eine Äquivalenzklasse bezüglich einem Punkt x.
Zuerst habe ich gezeigt, dass die obige Parallelprojektion wohldefniert ist. Danach habe ich festgestellt, dass ein Punkt aus der Faser die Bauform b = x + U besitzt und gezeigt dass U = [v]lin = ker p (durch zwei Mengeninklusionen) ist. Damit der affine Raum x+[v]lin affiner Unterraum ist muss b ∈ A und U ⊆ X sein, was trivial aus der Bauform von b und [v]lin folgt. Letztendlich habe ich die Parallelität der affinen Unterräume bzgl. der Faser bestätigt und diese bleibt durch Affinität erhalten.
Kann ich überhaupt beim Beweis so vorgehen oder habe ich etwas übersehen?
Kalidhor
