Reelle projektive Geraden

Question

In der Aufgabe sind drei Punkte [1:1:-1], [-2:3:0], [0:5:-2] in P^2(R) (also die Punkte sind aus der reellen projektiven Ebene). Nun soll ich, sagen ob die Punkte ein Dreieck bilden in der reellen projektiven Ebene oder in einer Geraden liegen in P^2(R). Und die Gerade soll als affine Gerade in der affinen Ebene
{[x:y:z] in P^2(R)| y ungleich 0}.

Also ich weiß, das eine Gerade in P^2(R) eine Ursprungsebene in R^3 ist. Und die Punkte in P^2(R) sind Ursprungsgeraden in R^3. Lieder kann ich damit aber nichts anfangen. Also würd ich sagen, dass die Punkte einen Dreieck bilden in P^2(R), dass ist aber keine Mathematische Begründung.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die drei Punkte spannen eine projektive Gerade auf,

wenn die Vektoren \((1,1,-1),(-2,3,0),(0,5,-2)\) einen 2-dimensionalen

Vektorraum aufspannen und das tun sie.

Der affine Teil der Geraden, der zu \(y\neq 0\) gehört, ist die in der Ebene

\(y=1\) gelegene Gerade \(3x+5z=-2\).

Comments

Warum ist die Gerade in der Ebene y=1?

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Wir haben die Punkte

[1,1,-1],[-2/3,1,0],[0,1,-2/5] ...

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Warum ist die Gerade in der Ebene y=1?

das muss nicht zwingend die Ebene \(y=1\) sein. Die drei Punkte würden in (fast) jeder Ebene \(P^2(R)\) eine Gerade bilden, da sie nicht linear unabhängig sind.

Bildet man die Determinante der Matrix aus den drei Vektoren, so ist diese gleich 0:$$\det\begin{pmatrix}1& -2& 0\\ 1& 3& 5\\ -1& 0& -2\end{pmatrix} = 0$$Das ganze noch mal bildlich: s. Geoknecht3D

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Also ich weiß, das eine Gerade in P²(R) eine Ursprungsebene in R³ ist. Und die Punkte in P²(R) sind Ursprungsgeraden in R³.

stimmt das wirklich? bzw. ist in beiden Fällen vom gleichen \(R^3\) die Rede?

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das muss nicht zwingend die Ebene \(y=1\) sein.

Das ist richtig. Habe nur eine spezielle Menge der

affinen Überdeckung herausgegriffen.

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Vielen Dank. Wenn ich die Ebene berechne, die von den Vektoren aufgespannt werden, dann komm ich auf die folgende Ebene: -6x-4y-10z=0. Das ist dann Äquivalent zu 3x+2y+5z=0 und dann darf ich für y beliebig eine Zahl einsetzten außer der Null oder?
Für y=1 ist es eben die Gleichung 3x+5z=-2. Hab ich das so richtig verstanden?   

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Ja. So habe ich es gemeint. y=0 liefert den unendlich fernen Punkt.

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Also ich weiß, das eine Gerade in P2(R) eine Ursprungsebene in R3 ist

somit ist \(y=1\) eben genau keine Ursprungsebene - oder?

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Ach so, dann stimmt meine Aussage nicht. Geraden in P2(R) dürfen nicht durch den Ursprung in R3.