Kegelschnitt projektive Geometrie Transformation

Question

wir haben über das Wochenende Übungen in der projektive Geometrie auf bekommen.
Bei einer Aufgabe komm ich so gar nicht weiter:

Halve the dimensions of the following curve indicating the correct projec-
tive transformation: x^T * (101,011,111)* x
Which is the curve shape?

(Ich weiß leider nicht wie man hier Matrizen richtig darstellen kann - also die 1 und 0 in der Klammer sollen zusammen eine 3x3 Matrix darstellen)

Muss hier einfach nur die quadratische Gleichung gebildet werden? also etwas in der Art wie:
a₁x₁²+a₂x₁x₂+a₃x₂²+a₄x₁+a₅x₂+a₆=0

Und wie weiß ich dann welche Art Kurve ich herausbekomme? Es müsste wahrscheinlich entweder eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel rauskommen - weil wir diese behandelt haben. Aber wie ich darauf komme, weiß ich nicht. 

Naja ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.

LG Anne

Answer 1

Hi,siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik

die Gleichung \( x^t \cdot \overline{A} \cdot x = 0 \) mit \(  \overline{A} = \begin{pmatrix}  1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) ist eine quadratische Form und beschreibt entweder eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel.

Die quadratische Form sieht so aus

$$ x^tAx+2b^tx + c =0  $$
mit \(  A = \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(  b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( c = 1 \)

Um zu sehen was für eine Form beschrieben wird, muss man eine sogenannte Hauptachsentransformation durchführen. Das bedeutet, Du musst die Eigenwerte von \( A \) bestimmen und zu jedem Eigenwert den normierten Eigenvektor. Die Transformationsmatrix \( T \) die diese normierten Eigenvektoren als Spaltenvektoren enthält, hat die Eigenschaft das gilt
$$  T^t  A  T = D $$ wobei \( D \) eine Diagonalmatrix ist, die auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen hat. Zusätzlich gilt wegen der symmetrie der Matrix \( A \) das \( T^t = T^{-1} \) gilt.
Also gilt \( A = T D  T^t  \) und die quadratische Form geht über in
$$ x^t T  D  T^t  x + 2  b^t  x  + c= 0  $$
Mit der Transformation \( z = T^tx \) ergibt das \( z^t  D  z + 2  b^t  T  z +c =0 \). Die Transformation \( z = T^tx \) ist eine Drehung des Koordinatensystems um den Ursprung. Nun muss man noch den linearen Term durch quadratische Ergänzung eliminieren. Danach kann man erkennen ob es sich um eine Ellips, Hyperbel oder Parabel handelt. Hier ist der Fall einfach, die Matrix \( A \) ist schon diagonal, also entfällt die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren. Ausmultipliziert ergibt sich $$  x^2 + y^2 +2x + 2y +1 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - 1 = 0 $$ Also ist die Kurve ein Kreis mit Radius \( 1 \) und Mittelpunkt \(  \begin{pmatrix}  -1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Comments

Aber wie mulitpliziere ich das aus?

Ich komme immer nur auf:

(x, y, 1)^T  * (101, 011, 111) * (x, y, 1) = 0

(1*x) + (0*y) + (1*1)

(0*x) + (1*y) + ...

(x, y, 1) * (x01, 0y1, xy1) = 0

(x*x) + (x*0) + (1*1) + (y*0) + (y*y) + ...

= x² + x + y² + 1 x² + y² + 1 

(Der erste Vektor ist natürlich senkrecht nach unten gehend und im zweiten Schritt dann waagerecht)

---

Oops sorry - ich hatte mich vertan. Ich komme immer auf diese Geichung:

x² + y² + x + y + 1

Wie kommst du also auf die 2x und 2y ?

Und kannst du mir dann bitte noch erklären wie du auf den Radius 1 und auf den Mittelpunkt (-1, -1) kommst?

---

Hi, wir müssen ja die transformierte Gleichung
$$ \vec z^tD\vec z + 2\vec b^tT\vec z + c=0 $$ ausrechnen, wobei \( D = A \) und \( T = I \) gilt. Deswegen gilt auchh \( \vec z = T^t\vec x = \vec x \).
Also müssen wir \(  \vec x^tD\vec x + 2b^t\vec x + c = 0 \) ausrechnen. Wenn wir den Vektor \( \vec x \) als \( x = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}  \) schreiben, folgt
$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 1 = 0 $$ und das ergibt
$$ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 $$
Wenn Du das nachvollziehen kannst, ist dann klar wieso das ein kreis mit Radius \( r = 1 \) und Mittelpunkt \( \begin{pmatrix}  -1 \\ -1 \end{pmatrix} \) ist?

---

Ahhh - sorry für die ganzen Kommentare hier - aber ich komme jetzt auch auf deine Gleichung :))

Hab mich nur die ganze Zeit in der Matrizenrechnung vertan -,-

Also habe jetzt auch x² + y² + 2x + 2y + 1

Verstehe aber immer noch nicht ganz wie du auf den Mittelpunkt und den Radius kommst?

Und demnach eben auch nicht wie du diese Gleichung nun in die Kreisgleichung bringst...

Kreisgleichung ist ja (x-m₁)² + (y-m₂)² = r²

Warum änderst du also auf einmal das Vorzeichen von m₁ und m₂ ?

und was hat nun diese +1 in der Gleichung zu suchen? Also was bedeutet die?

Und ist unser Radius dann nicht 0?

Sorry für die vielen Fragen...  ^^

---

Ahhh ich habs auch raus jetzt!! :)))

fürfür -2a muss -1 eingesetzt werden um auf die 2 zu kommen und bei -2b das gleiche

Sprich der Mittelpunkt (nämlich a und b) sind beide -1

und dann kann mit a² + b² -r² =1 der Radius ausgerechnet werden.

Du hast mir mega geholfen - lieben Dank dafür! :)

---

Nochmal ganz kurz eine Frage :)   :

Sehe ich das richtig, dass sich im Prinzip nur an dieser Gleichung   x² + y² + 2x + 2y + 1

erkennen lässt, ob es sich um einen Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel handelt?

Denn Ellipse, Parabel und Hyperbel hätten eine andere Gleichung als Ergebnise.

Lieben Gruß