Koordinatentransformation / Kegelschnitt

Question

a) Finde eine Koordinatentransformation (Translation und/oder Rotation) so dass der Kegelschnitt Kf:={f = 0} kanonische Form hat für
f(x,y)=3x^2+8xy-3y^2+28

b) Zeige, dass der Kegelschnitt Kf für f(x,y)=x^2+2xy+y^2+3x+y-1 eine Parabel ist. Hinweis: Schreibe 3x+y als 2(x+y)+x-y und ergänze (x+y)^2 +2(x+y) quadratisch.

Weiss jemand wie man das macht?

Comments

Es wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.

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Weiss das wirklich niemand?

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ich weiss es aber sags dir nicht haha

Answer 1

Hi, beide Aufgabe kann man in der folgenden Form schreiben
$$ x^tAx+b^tx+c = 0 $$
Bei Aufgabe (a) gilt
$$ A= \begin{pmatrix}  3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} $$ und $$ b = 0 $$ sowie
$$ c = 28 $$
Die Matrix \( A \) kann diagonalisiert werden durch \( D = T^tAT \) mit \( T = \begin{pmatrix}  2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Die Spaltenvektoren von \( T \) sind die Eigenvektoren von \( A \). Die Eigenwerte sind \(5 \) und \( -5 \). Damit ergibt sich die Diagonalmatrix zu
$$ D = \begin{pmatrix}  5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} $$
Mit der Transformation \( z =T^tx \) also \( x = Tz \) folgt
$$ z^tDz + c = 0  $$
Damit ergibt sich in Koordinatendarstellung
$$ z_2^2-z_1^2 =\frac{28}{5} $$
Damit ist der Kegelschnitt aus Aufgabe (a) eine Hyperbel.
Ähnlich kann man bei Aufgabe (b) vorgehen.
Es ergibt sich nach der Diagonalisierung und einer quadratischen Ergänzung folgende Darstellung, was eine Parabel darstellt.
$$ z_2 = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}z_1} $$