Zeigen Sie, dass eine strikt konkave Funktion f : [a,b] ! R höchstens ein globales Maximum hat.

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass eine strikt konkave Funktion f : [a,b] ! R höchstens ein globales Maximum
hat.
b) Gibt es eine konkave Funktion, die an genau zwei Stellen ein globales Maximum hat? Begründen
Sie Ihre Antwort, indem Sie eine solche Funktion angeben oder argumentieren, warum es sie
nicht geben kann.

Problem/Ansatz: bin irgendwie total überfragt bei der Aufgabe, kann mir vielleicht jemand helfen? :)

Comments

Strikt konkav beudetet doch, dass \( \forall x \neq y \in [a,b],~\theta \in (0,1) \) gilt

$$ f(\theta x + (1-\theta) y) > \theta f(x) + (1-\theta) f(y) $$

Angenommen du hättest jetzt zwei globale Maxima an den Stellen \( u, v \in [a,b] \), dann wäre \( f(u) = f(v) \) und für \( \theta = 0.5 \) müsste dann

$$ f(0.5 u + 0.5v) > 0.5f(u) + 0.5f(v) = f(u) $$

sein. Erkennst du den Widerspruch?

Zu b sollte dir eigentlich selbst ein ziemlich einfaches Beispiel einfallen.

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Danke für deine Antwort!:) Also weil man die 2 Funktionen dann gleich setzten kann ergibt sich dann auch nur ein globales Maximum, meinst du das?

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Also weil man die 2 Funktionen dann gleich setzten kann

Was für 2 Funktionen?

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Meinte die globalen maxima, Sorry.

Mir ist trotzdem die Lösung der Aufgabe noch sehr unklar

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Du hast 2 globale Maxima u und v (die Funktionswerte müssen an diesen also identisch sein) und jetzt findest du ein \( x := 0.5u + 0.5v \) mit

$$ f(x) \textcolor{red}{\mathbf >} f(u) $$

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Okay danke :)