Zeigen, dass die Funktion ein globales Maximum mit Wert 1/(ne) annimmt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion f_n ein globales Maximum mit Wert \( \frac{1}{ne} \)  annimmt.

f_n: (0, ∞) -> R, f_n(x) = \( \frac{x}{n^2} \) \( e^{-x/n} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

Comments

Hast du schon die lokalen Extrema bestimm? Ableiten, Nullstellen der Ableitung suchen, auf lokales Maximum prüfen?

Was ist das Grenzverhalten für x→±∞?

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Die Ableitung ist ja \( \frac{(x-n)e^{\frac{-x}{n}}}{n^{3}} \)

Dabei darf der Nenner nicht 0 sein, da wir sonst durch 0 teilen würden; dementsprechend darf auch n nicht 0 sein.

Hier komme ich dann aber nicht weiter.

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Es müsste (n-x) in der Ableitung heißen

Ein Bruch ist =0 wenn der Zähler =0 ist

Also brauchst du die Nullstellen von (n-x)*exp(-x/n)

Produkte sind =0 wenn Mindestens ein Faktor =0 ist

Also reicht es n-x=0 und exp(-x/n)=0 zu lösen.

Also hat die Funktion höchstens ein lokales Extremum. Nämlich bei x=...?

Dann bilde die zweite Ableitung und setze dieses x dort ein. Ist das was raus kommt negativ? Wenn ja, dann hat die Funktion bei (x,f(x)) einen lokalen Hochpunkt.

Dann musst du noch das Grenzverhalten betrachten.

Was macht f_n(x) wenn x gegen 0 geht?

Was passiert mit fn(x) wenn x gegen ∞ geht?

Um dir das zu visualisieren kannst du dir f_n auch einfach mal für ein paar n plotten lassen. ZB mit Geogebra: www.geogebra.org

Du wirst feststellen dass die f_n im Grenzverhalten das lokale Maximum nicht übersteigen. Und diese deshalb sogar ein globales Maximum sein muss.

Answer 1

Schau mal dort

https://www.mathelounge.de/945268/funktion-globales-maximum-bestimmen