Aufgabe:
Es sei \(A_1,\ldots,A_k\subseteq\mathbb{R}^2\). Die Summe \(\sum_{i=1}^{k}A_i\) ist mit Hilfe des Komplexproduktes über \((\mathbb{R}^2,+)\) gegeben.
Zeigen Sie, dass für den konvexen Hüllenoperator gilt:
\(conv{\left(\sum_{i=1}^{k}A_i\right)}=\sum_{i=1}^{k}{conv\left(A_i\right)}\)
Das Komplexprodukt haben wir wie folgt definiert:
Es sei \( \mathbb{G}=(M, \circ) \) ein Gruppoid. Dann definiere auf \( 2^{\mathrm{M}} \) die folgende zweistellige Operation o \( _{\mathrm{K}} \), Komplexprodukt \( z u \) G genannt:
\(M_{1} \circ_{K} M_{2}:=\left\{x_{1} \circ x_{2} \mid x_{1} \in M_{1}, x_{2} \in M_{2}\right\} \quad \) für \(\quad M_{1}, M_{2} \subseteq M\)
\( 2^{\mathbb{G}}:=\left(2^{M}, o_{K}\right) \) ist ein Gruppoid.
Problem/Ansatz:
Ich habe bisher folgendes geschrieben:
Es gelte \(a\ +\ b\in conv\left(A_1\right)+conv\left(A_2\right)\) und \(a=\sum_{i}^{k}{\alpha_ia_i}\) und \(b=\sum_{j=1}^{k}{\beta_jb_j}\).
Dann gilt \(a+b_j=\sum_{j}^{k}\alpha_i\cdot\left(a_i+b_j\right)\) woraus \(a\in conv\left(A+B\right)\) folgt. Weiter gilt für \(a+b=\sum_{j}^{k}{\beta_j\left(a+b_j\right)}\). Somit gilt für \(a+b\ \in conv(\ conv\left(A+B\right))=conv(A+B)\)
Ist das richtig?
