Beweis durch vollständige induktion ..diagonale & konvexen n-eck?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass die Zahl \( d(n) \) der Diagonalen in einem ebenen, konvexen \( n \) -Eck durch die Formel \( d(n)=\frac{n(n-3)}{2} \) berechnet werden kann.

Answer 1

Wir machen vollständige Induktion nach \(n \geq 3\).

1. Induktionsanfang \(n=3\): ein Dreieck hat keine Diagonalen und es ist \(\frac{3\cdot(3-3)}{2}=0\).

2. Induktionsannahme: ein konvexes \(n\)-Eck hat \(\frac{n(n-3)}{2}\) Diagonalen.

3. Induktionsschritt: das konvexe \((n+1)\)-Eck besitze im Uhrzeigersinn die Ecken \(p_1,\cdots,p_{n+1}\).
Man kann es sich aus dem konvexen \(n\)-Eck mit den Ecken \(p_1,\cdots,p_n\) durch Hinzufügen der Ecke
\(p_{n+1}\) entstanden denken.
Dieses besitzt nach Induktionsannahme \(\frac{n(n-3)}{2}\) Diagonalen.
Von \(p_{n+1}\) gehen \(n-2\) Diagonalen aus zu den Punkten \(p_2\) bis \(p_{n-1}\) und es kommt eine
neue Diagonale zwischen \(p_1\) und \(p_n\) hinzu, also$$\frac{n(n-3)}{2}+(n-2)+1=\frac{(n+1)((n+1)-3)}{2}$$
q.e.d.