Vollständige Induktion, Geometrie: Konvexes n-Eck

Question

Hey ich würde mich freuen wenn mir einer bei  dieser Aufageehelfen könnte, ich würdet mr wirklich

helfen !! ICH DANKE EUCH JETZT SCHON MAL.

Für eine natürliche Zahl n ∈ N,n ≥ 3 heißt ein n-Eck konvex, wenn sich alle Paare von Punkten des n-Ecks durch Strecken verbinden lassen, die das n-Eck nicht verlassen (von jedem Punkt des Vielecks kann ich jeden anderen Punkt sehen).

Eine Diagonale in einem \( n \) -Eck ist eine Verbindungsstrecke zwischen nicht benachbarten Eckpunkten des Vielecks. Für den Fall \( n \geq 3 \) gilt dann folgende Aussage: Die Anzahl der Diagonalen in einem konvexen \( n- \)Eck ist \( \frac{n \cdot(n-3)}{2}. \) " Beweisen Sie diese Aussage mittels vollständiger Induktion. 

(Tipp: Begründen Sie zunächst, wie viele Diagonalen bei einem \( n+1- \) Eck, ausgehend von einem \( n \) -Eck, hinzukommen. Nutzen Sie diese Information für den ersten Term in der Gleichung des Induktionsschritts.)

Die nachstehende Grafik illustriert ein spezielles \( n \) -Eck mit \( n=4 \) und ein
dazu passendes \( n+1 \) -Eck und dessen zusätzliche Diagonalen.

 

Answer 1

Hast du dir Gedanken bezüglich des Tipps gemacht?

Ich habe n Ecken.

Naja, füge ich eine Ecke hinzu, so gibt es für jeden Eckpunkt, der nicht benachbart ist eine zusätzliche Diagonale. Also das macht schon mal n-2 neue Diagonalen. Außerdem können beide Nachbarn der neuen Ecke sich jetzt verbinden.(Sie waren vorher Nachbarn, aber sind durch die neue Ecke getrennt.) Also haben wir n-1 neue Diagonalen pro neue Ecke.

Das können wir gleich in der Induktion verwenden.

Machen wir den Induktionsanfang:
Gilt die Behauptung für n= 3?

3 Ecken :  3*(3-3)/ 2 = 0 Diagonalen.

Passt.

Nun schließen wir von n auf n+1 Ecken.

Es gelte also für n Ecken, dass n*(n-3)/2 Diagonalen existieren.

Wenn die Aussage gilt, so müssten für n+1 Ecken also (n+1)(n-2)/2 = (n^2-n-2 )/2 Diagonalen existieren.

Es existieren also bereits n*(n-3)/2 Diagonalen und wir erhalten nach obigen Überlegungen n-1 neue Diagonalen.

Also:

n*(n-3)/2 + n-1 = (n^2 -3n) / 2 + (2n-2)/2 = (n^2 - n -2)/2

=> Das ist genau das was gelten muss.

=> Aussage stimmt.