Könne Sie mir zeigen, wie man damit vorgehen soll?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie bitte die Lösungsgesammtheit der folgenden differenzierte Funktion

y´(t)= 46t^2 mal y(t) + 98t mal y(t)

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir zeigen, wie man damit vorgehen soll?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.y'(t)=46t^2\cdot y(t)+98t\cdot y(t)\quad\right|:\,y(t)$$$$\left.\frac{y'(t)}{y(t)}=46t^2+98t\quad\right|\text{beide Seiten unabhängig voneinader integrieren}$$$$\left.\int\frac{y'(t)}{y(t)}dt=\int\left(46t^2+98t\right)dt\quad\right|\text{zwei Integrationskonstanten \(c_1\) und \(c_2\)}$$$$\left.\ln y(t)+c_1=\frac{46}{3}t^3+49t^2+c_2\quad\right|-c_1$$$$\left.\ln y(t)=\frac{46}{3}t^3+49t^2+c_2-c_1\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.y(t)=e^{\frac{46}{3}t^3+49t^2+c_2-c_1}=e^{c_2-c_1}\cdot e^{\frac{46}{3}t^3+49t^2}\quad\right|c\coloneqq e^{c_2-c_1}=\text{const}$$$$y(t)=c\cdot e^{\frac{46}{3}t^3+49t^2}$$Die Konstante \(c\) muss aus den jeweiligen Rahmen- bzw. Anfangsbedingungen bestimmt werden. Beachte, dass mit \(c=0\) insbesondere die triviale Lösung \(y(t)=0\) erfasst wird.