Wäre jemand so nett mir das allgemeine Vorgehen beim Beweis gleichmäßiger Konvergenz möglichst einfach zu erläutern?

Question

Hallo ,

ich bin etwas verwirrt, was die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen betrifft und leider fand ich auch bei Google keine Erklärung, die ich verstanden habe. Und zwar finde ich immer wieder die Darstellung :

|f_n(x)-f(x)|<E

f_n ist meine Funktionenfolge, E meine Epsilonumgebung (Epsilon-Schlauch-Darstellung ist mir geläufig), doch wie komme ich auf f(x)?

Könnte mir das jemand anhand einer Bespielfolge erklären? Vorschlagen würde ich:

f_n(x)= nxe ^{−n(x^2)}

Ist aus nem Aufgabenbuch mit dem ich gerade übe. Leider ohne Lösungen...

Eine andere Funktionenfolge als Beispiel wäre mir genauso recht.

Ich bedanke mich schonmal für jeden Hilfsversuch!

Answer 1

Das f(x) ist die Grenzfunktion.

Könnte sein, dass das in deinem Fall ist

f(x) = 1 für x=0  und f(x) = 0 sonst.

Die ist nicht stetig, also keine gleichmäßige Konvergenz.

Comments

Also wäre die Aufgabe mit unstetiger Gernzfunktion schon gelöst?

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siehe dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz#Stetigkeit

Da die f_n alle stetig sind müsste bei gleichm.

Konvergenz auch die Grenzfunktion stetig sein.