Beweis von gleichmäßiger Konvergenz

Question

Aufgabe:

Sei (fn) eine Folge von Funktionen fn : R → R mit

Text erkannt:

wobei die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n} \) konvergiere. Beweisen Sie, dass dann \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} f_{n} \) gleichmäßig auf \( A \) konvergiert.

Problem/Ansatz:

Hey ich verstehe leider nicht wie ich das beweisen sollte, könnte mir jemand dabei helfen bitte?

Answer 1

∀x∈A  | f_n(x) | ≤ c_n ==>   sup_x∈A |f_n(x) | ≤ c_n

Und wenn die Reihe der c_n konvergiert, geht die Folge

der Beträge gegen 0 und weil kein c_n negativ ist gilt also

\( \lim\limits_{n\to\infty} c_n = 0  \)

==> \( \lim\limits_{n\to\infty}   sup_{x∈A} |f_n(x) | = 0  \)

==> \( \limsup\limits_{n\to\infty}   |f_n(x) | = 0  \)

==> \( \limsup\limits_{n\to\infty}  |f_n(x) - 0 | = 0  \)

Also konvergiert die Folge der f_n gleichmäßig gegen

die 0_Funktion.