Warum beinhaltet der Kern der Matrix folgende Lösung?

Question

Aufgabe:

Lösung des Kerns einer Matrix

Problem/Ansatz:

Für die 3x3 Matrix:

1 1 2 
0 0 0
0 0 0

gibt es angeblich folgende Vektoren im span als Lösung:

1              2
-1   und   0
0              -1

Ich verstehe nicht wie man zu dieser Lösung kommen könnte... Aufgrund der beiden Nullzeilen gibt es ja nur eine Gleichung x1 + x2 + 2x3 = 0 für drei Unbekannte. Außerdem ist die Dimension des Kernes der Matrix ja die Anzahl der Spalten - Rang der Matrix. Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten, also hier 2. Dementsprechend müsste die Dimension 3 - 2 = 1 sein, jedoch stehen in der Lösung zwei Vektoren und nicht einer ?

Answer 1

Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten, also hier 2.

nein: die zweite und dritte sind beide Vielfache der ersten.

Also gibt es nur eine lin. unabh. Spalte.

Du kannst das auch aus der Gleichung ableiten:

x1 + x2 + 2x3 = 0

==>   x1 = -x2 - 2x3

Also sehen die alle so aus $$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x_2-2x_3\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x_2\\x_2\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2x_3\\0\\x_3 \end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}$$

und da kannst du die Basis ablesen. Wenn du beide Basisvektoren mit -1 multiplizierst hast

du die gleiche wie bei deiner Musterlösung.

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