Wie berechnet man rechnerisch einen Intervall einer gegebenen Funktion?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion g(t)= e^(−0.5t)⋅cos(2⋅t)

In welchem Intervall ist die Funktion vorwiegend konvex (d.h. die zweite Ableitung ist grösser als Null)?

Problem/Ansatz:

Wie könnte man dies rechnerisch herausfinden?

Wenn ich es online in bsp wolframalpha eingebe so sehe ich es, aber wie könnte man dies berechnen um auf die genauen Zahlen ( Intervalle) zu gelangen?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Du musst die zweite Ableitungsfunktion  f''(t)  ermitteln (mittels Produktregel und Kettenregel) und dann die  Ungleichung  f''(t) > 0  untersuchen.

Da man aus  f''(t)  den exponentiellen Teil ausklammern kann, bleibt am Ende nur eine trigonometrische Ungleichung aufzulösen, nämlich:

A · cos(2t) + B · sin(2t) > 0

(mit gewissen Zahlenfaktoren A und B)

Durch Division durch cos(2t)  kommt man dann auf eine einfache Ungleichung für tan(2t) .