Aloha :)
\(\vec a\) sei der Ortsvektor zum Punkt \(A\) und \(\vec b\) sei der Ortsvektor zum Punkt \(B\). Ortsvektoren starten immer am Koordinanten-Ursprung, daher haben Ortsvektoren dieselben Koordinaten wie die Punkte, auf die sie zeigen. Der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) führt vom Punkt \(A\) zum Punkt \(B\) ist also kein Ortsvektor, weil er beim Punkt \(A\) und nicht am Ursprung startet. Trotzdem kann man \(\overrightarrow{AB}\) durch die Ortsvektoren von \(A\) und \(B\) ausdrücken.
Um von \(A\) zu \(B\) zu gelangen, gehen wir den entgegengesetzen Ortsvektor \((-\vec a)\) entlang und kommen zum Ursprung. Von dort aus gehen wir den Ortsvektor \(\vec b\) zum Punkt \(B\) entlang. Das heißt:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\quad\left(\text{Merke: "Ziel minus Start"}\right)$$
Damit schauen wir uns die Aufgaben an...
zu 2) Der Punkt \(P(1;3;2)\) hat den Ortsvektor \(\vec p=(1;3;2)\). Wir kennen den Vektor von \(\overrightarrow{PQ}=(1;-2;1)\) von \(P\) nach \(Q\). Damit können wir den Ortsvektor \(\vec q\) zum Punkt \(Q\) bestimmen:
$$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p\quad\implies\quad \vec q=\vec p+\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$$Der gesuchte Punkt ist also \(Q(2;1;3)\).
zu 3) Jetzt sind \(Q(2;-1;0)\) und \(\overrightarrow{PQ}=(0;-1;3)\) gegeben. Gesucht ist der Punkt \(P\).
$$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p\quad\implies\quad\vec p=\vec q-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}$$Der gesuchte Punkt ist also \(P(2;0;-3)\).
