Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die Punkte A(1|3) B(-1|2) und C(3|2) geht.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die angegebenen Punkte A(1|3) B(-1|2) und C(3|2) geht.

Problem/Ansatz: Was ich schon alles gemacht habe, war, dass ich 3 Bedingungen aufgestellt habe. Diese wären einmal f(1) = 3; f(-1)=2 und f(3)=2. Ich kriege aber die restlichen Schritte nicht hin. Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die angegebenen Punkte A(1|3) B(-1|2) und C(3|2) geht.

Hier eine sehr ungewöhnliche Methode

f(x) = a·(x + 1)·(x - 3) + 2

f(1) = a·(1 + 1)·(1 - 3) + 2 = 3 --> a = -0.25

f(x) = - 0.25·(x + 1)·(x - 3) + 2

Eventuell ausmultiplizieren

f(x) = - 0.25·x^2 + 0.5·x + 2.75

Du kannst auch eine reguläre Steckbriefaufgabe machen

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe oder Selbstkontrolle

Bedingungen

f(1)=3
f(-1)=2
f(3)=2

Gleichungssystem

a + b + c = 3
a - b + c = 2
9a + 3b + c = 2

Errechnete Funktion

f(x) = -0,25·x² + 0,5·x + 2,75

Comments

Alles klar, vielen Dank für die Lösung und die schnelle Antwort! :)

Answer 2

$$f(x) = \dfrac{2-3}{\left(3-1\right)^2}\cdot\left(x-1\right)^2+3$$(Das ist die selten benutzte Punkt-Scheitel-Form der quadratischen Funktion.)

Comments

Dankeschön ^^

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Die Gesuchte hat folgende Form:$$f(x)=ax^2+bx+c$$Wenn du darin nun die 3 Bedingungen einsetzt, bekommst du 3 Gleichungen für die 3 Parameter \(a\), \(b\) und \(c\).$$3=f(1)=a+b+c$$$$2=f(-1)=a-b+c$$$$2=f(3)=9a+3b+c$$Dieses Gleichungssystem kannst du nach den Parametern auflösen:

$$\begin{array}{rrr|c|l}a & b & c & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 1 & 1 & 3 &\\1 & -1 & 1 & 2&-\text{Zeile 1}\\9 & 3 & 1 & 2 &-9\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & 1 & 3 &\\0 & -2 & 0 & -1&:\,(-2)\\0 & -6 & -8 & -25 &-3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 1 & 1 & 3 &-\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 0 & 0,5&\\0 & 0 & -8 & -22 &:\,(-8)\\\hline1 & 0 & 1 & 2,5 &-\text{Zeile 3}\\0 & 1 & 0 & 0,5&\\0 & 0 & 1 & 2,75 &\\\hline1 & 0 & 0 & -0,25 &\\0 & 1 & 0 & 0,5&\\0 & 0 & 1 & 2,75 &\\\hline\hline\end{array}$$Wie lesen als Lösung ab:$$a=-0,25=-\frac{1}{4}\quad;\quad b=0,5=\frac{1}{2}\quad;\quad c=2,75=\frac{11}{4}$$und erhalten die gesuchte Funktion:$$f(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{11}{4}$$

~plot~ -0,25x^2+0,5x+11/4 ; {1|3}; {-1|2} ; {3|2} ; [[-4|6|-2|4]] ~plot~

Comments

Dankeschön ^^