Question

Aufgabe: Wie soll der Bauer die Zaunstücke anordnen, damit für die Ziege ein möglichst großes Gehege entsteht?

Problem/Ansatz: Bauer Lindemanns Grundstück liegt direkt am Kanal. Er möchte für seine Ziege ein rechteckiges Gehege abgrenzen. Er möchte für seine Ziege ein rechteckiges Gehege abgrenzen. Er hat 40 Zaunstücke von je 1,5 m Länge. Das Gehege soll direkt am Kanal liegen, denn so spart er Zaunstücke ein. Ermittle, wie der Bauer die Zaunstücke anordnen muss, damit für die Ziege ein möglichst großes Gehege entsteht.

Antwort bitte mit Lösungsweg.

Answer 1

Die Länge der Stücke kannst Du erst einmal ignorieren. Da das Gehege am Kanal liegt, hat der Umfang nur 3 Seiten (a+a+b) und die Fläche bleibt weiterhin ab. Und jetzt mache eine Extremwertbestimmung.

Comments

Geben Sie bitte ein Lösungsweg mit Lösung.

Answer 2

Hallo,

der Typ Aufgabe war hier schon öfter dran. Ich nenne die Seite, die den Kanal berührt und senkrecht zu ihm steht \(a\) und die parallel zum Kanal verläuft \(b\).

Dann ist die Fläche \(F\) des Geheges$$F = a\cdot b$$diese gilt es zu maximieren. Die Länge des Zauns ist aber beschränkt auf 40 Zaunstücke (nicht Meter!). Also gilt$$2a + b = 40 \implies b = 40-2a$$das setzt man in die Fläche ein, leitet nach dem verbleibenden \(a\) ab und setzt die Ableitung zu \(0\)$$\begin{aligned} F &= a \cdot b \\ &= a (40 - 2a) \\&= 40a - 2a^2 \\ F' &= 40 - 4a = 0 \\ \implies 40 &= 4a \\ a &= 10\end{aligned}$$dies wiederum setzt man in die Gleichung für \(b\) ein und bekommt \(b=40-2a = 20\).

Ermittle, wie der Bauer die Zaunstücke anordnen muss, damit für die Ziege ein möglichst großes Gehege entsteht.

Somit ist das rechteckige Gehege genau dann maximal groß, wenn der Bauer je 10 Zaunstücke für die Seiten und die verbleibenden 20 Zaunstücke für die Längsseite parallel zum Kanal verwendet.