Beweis A |P(A)| = 2^|A|.

Question 1

Aufgabe:

Beweisen Sie dass für beliebige Menge ¨ A |P(A)| = 2^|A| gilt.
Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll, im Internet hat es jeder irgendwie anders nämlich mit 2^n.

Question 2

Aloha :)

Es sei $n\coloneqq|A|$ die Anzahl der Elemente in der Menge $A$. Die Potenzmenge $P(A)$ enthält alle möglichen Teilmengen der Menge $A$. Wir haben $\binom{n}{k}$ Möglichkeiten, aus den $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen. Das heißt, es gibt genau $\binom{n}{k}$ $k$-elementige Teilmengen. Die Anzahl an Teilmengen insgesamt ist daher die Summe

$$|P(A)|=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot1^k\stackrel\text{(binomischer Lehrsatz)}=(1+1)^n=2^n$$

Question 3

Vielen dank damit sollte ich es verstanden haben

Question 4

Sei $n = \left|A\right|$.

Jetzt darfst du das so wie im Internet mit $2^n$ machen.

Question 5

Danke das wird mir helfen

Tschakabumba · Answer 1 · 2021-02-11T13:10:09+0000

Aloha :)

Es sei $n\coloneqq|A|$ die Anzahl der Elemente in der Menge $A$. Die Potenzmenge $P(A)$ enthält alle möglichen Teilmengen der Menge $A$. Wir haben $\binom{n}{k}$ Möglichkeiten, aus den $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen. Das heißt, es gibt genau $\binom{n}{k}$ $k$-elementige Teilmengen. Die Anzahl an Teilmengen insgesamt ist daher die Summe

$$|P(A)|=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot1^k\stackrel\text{(binomischer Lehrsatz)}=(1+1)^n=2^n$$

oswald · Answer 2 · 2021-02-11T13:02:06+0000

Sei $n = \left|A\right|$.

Jetzt darfst du das so wie im Internet mit $2^n$ machen.

Beweis A |P(A)| = 2^|A|.

2 Antworten

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