Basis des Kerns von Matrizen berechnen

Question

Berechnen Sie jeweils eine Basis des Kerns der von den Matrizen

A∈ℚ^3x5

$$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 & -2 & -1 \\ -2 & -3 & -1 & 8 & 1 \\ 1 & 4 & 8 & 8 & -4 \end{matrix} \right) $$

B∈(ℤ/5)^3x3

$$ B = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{matrix} \right) $$ 

dargestellten Homomorphismen.

Answer 1

A:  Gauss Algorithmus liefert z. B.

2  3    1  -8    -1
0  5  15  24   -7
0   0   0   2    -1

Also x4 frei wählbar, etwa t und dann x5= 2t

Dann x3 frei wählbar ( s)  und 5x2 + 15s + 24t -14t = 0

        ==>    x2 = -2t - 3s

und 2x1 = -3(-2t-3s) -s +8t + 2t ==>  x1 = 8t + 4s

Also sind die Elemente im Kern ( 8t+4s , -2t - 3s , s , t , 2t )

= t*(8,-2,0,1,2) + s*(4,-3,1,0,0) .

Also (8,-2,0,1,2) , (4,-3,1,0,0)  eine Basis des Kerns.