Wieso gilt Var(aX)=a^2Var(X)

Question

ich habe eine Frage die in den Themenbereich Stochastik fällt.

Wieso gilt Var(aX)=a²Var(X)?

Wieso wird, wenn die Realisation der Zufallsvariable mit Faktor a multipliziert wird, die Varianz der Zufallsvariable mit Faktor a² multipliziert?

Mit freundlichen Grüßen

Leonhard

Comments

Hallo,

rechne doch einfach Var(aX) anhand der Definition nach.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Das folgt direkt aus der Linearität des Erwartungswertes:

$$V(aX+b)=\left<\,(aX+b-\left<aX+b\right>)^2\,\right>=\left<\,(aX+b-(a\left<X\right>+b))^2\,\right>$$$$\phantom{V(aX+b)}=\left<\,(aX+b-a\left<X\right>-b)^2\,\right>=\left<\,(aX-a\left<X\right>)^2\,\right>$$$$\phantom{V(aX+b)}=\left<\,a^2(X-\left<X\right>)^2\,\right>=a^2\left<\,(X-\left<X\right>)^2\,\right>=a^2\,V(X)$$