Aufgabe:
Text erkannt:
Let \( Y_{1}, \ldots, Y_{n} \) be i.i.d. draws from a distribution with mean \( \mu \). A test of \( \mathrm{H}_{0}: \mu=5 \) versus \( \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 5 \) using the usual t-statistic yields a \( \mathrm{p} \) -value of \( 0.03 . \)
a) Does the \( 95 \% \) confidence interval contain \( \mu=5 \) ? Explain.
Problem/Ansatz:
Zu dieser Aufgabe habe ich in Online-Forum des Moduls eine Frage gestellt, welche mir meine Dozentin beantwortet hat. Ich komme einfach nicht darauf, wie sie zu ihren Ausführungen kommt. Ich dachte eigentlich ich hätte Konfidenzintervalle gut verstanden, aber diese Aufgabe lässt mich leider echt verzweifeln. Ich hänge die Forumsbeiträge auch noch anonymisiert mit an und makiere den kritischen Bereich. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir nochmal aus einer anderen Perspektive die Erklärung meiner Dozentin vermitteln könnte. Ich glaube, dass ich mit ihrer Erklärung einfach nicht weiter komme. Vielen Dank schonmal im Voraus sollte sich jemand die Mühe machen und sich damit auseinandersetzen.
Diskussion im Modul-Forum:
Dozentin:
Das 95%-Konfidenzintervall umfasst alle Werte, die bei einem entsprechenden Signifikanztest auf dem 5% Niveau nicht abgelehnt werden würden (siehe Folie 28, Kapitel 3 und die Erläuterungen im Video).
Unsere H0-Hypothese lautet in diesem Beispiel H0: μ = 5. Da wir einen p-value von 0,03 haben, verwerfen wir H0 und gehen davon aus, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit nicht 5 entspricht. Der Wert 5 wird hier also abgelehnt, daher kann er nicht in dem entsprechenden 95%-Konfidenzintervall enthalten sein.
Da wir keinen Test für H0: μ = 6 durchgeführt haben, wissen wir nicht, ob wir die H0-Hypothese beibehalten oder verwerfen würden und können daher auch nicht folgern, ob der Wert im Konfidenzintervall enthalten sein wird, oder nicht.
Ich:
Nochmal zur Kontrolle: Das 97%-Konfidenzintervall wäre das "letzte" Intervall, dass 5 (bei einem p-Wert von 0,03) noch enthalten würde? Ab dem 96,9%-Konfidenzintervall würde 5 nicht mehr enthalten sein?
Dozentin:
Das 97%-Konfidenzintervall würde die 5 noch umfassen, das 97,1%-Konfidenzintervall hingegen nicht mehr.
Ich:
Ich habe jetzt nochmal versucht Konfidenzintervalle von Anfang an neu aufzuarbeiten, aber leider komme ich einfach nicht soweit, dass ich diese letzte Aussage nachvollziehen kann. Für mich ist es einfach mathematisch nicht logisch, wie das obere Intervall (97%) 5 einschließen kann und das untere (97,1%) nicht. Damit das Intervall 5 nicht mehr einschließt muss es doch kleiner werden und dafür müsste das Konfidenzniveau doch auch kleiner werden, weil dann die "Prozentzahl" steigt nach der wir in unserer Tabelle suchen und dann der z-Wert der die Grenzen festlegt kleiner wird.
Text erkannt:
\( [\bar{x}-2,17 * S E(\bar{x}) ; \bar{x}+2,17 * S E(\bar{x})] \)
\( [\bar{x}-2,18 * S E(\bar{x}) ; \bar{x}+2,18 * \operatorname{SE}(\bar{x})] \)
Nach ihrer Ausführung müsste 5 doch bei einem Signifkanzniveau von 2,9% abgelehnt werden. Wird es aber nicht, weil 3% das kleinste Signifikanzniveau ist bei dem die Null-Hypothese noch abgelehnt wird. (Definition P-Wert) Dann kann doch nicht gleichzeitig das 97,1%-Kofidenzintervall 5 nicht mehr einschließen.
Text erkannt:
eetryesen
sonpluak
Hallo frow loxk
Bett Gnse, loon Requrot
Hallo Herf feequartt
Hato fros wor
Bess Guber
