Stochastik und Konfidenzintervalle

Question

Hallo ihr Lieben,

in den Fotos ist eine Abituraufgabe und die Lösung dazu. Also brauche ich die Lösung nicht. Ich hatte auch einige Ansätze, aber die waren scheinbar falsch. Meine Frage ist, ob mir jemand bitte schrittweise erklären kann, wie man auf die Lösung von b kommt, da ich a bereits richtig hatte. Ich verstehe die Erklärungen in der Lösung leider nicht wirklich.

Danke im Voraus.

Liebe Grüße

Lulu

Answer 1

Wozu nutzt man die Formel 2 * 1.96 * √(h * (1 - h) / n) denn normalerweise?

Comments

Weiß ich nicht. Ich kenne nur die Formel ohne die 2 vorne.

Also 1,96 * Wurzel((h*(1-h)/n)

Die nutzt man, um näherungsweise ein Sicherheitsintervall von 95% zu bestimmen. Wobei das n in meinen Aufzeichnungen doch nicht unter der Wurzel ist. Im Zähler ist die Wurzel und im Nenner n. Vielleicht bin ich auf der falschen Fährte, aber sonst habe ich keine Ahnung, wozu die Formel ist. Aber warum wird in der Aufgabenstellung mit 2 multipliziert? Was wird damit erreicht?

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Ok. Also Du wirfst einen Würfel 1000 mal und interessierst dich für die Anzahl der dabei auftretenden 6-en. Gib jetzt z.b. ein 95% Vertrauensintervall an. Benutze dabei die Näherung über die Normalverteilung.

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Erwartungswert ist ≈166,67

Standardabweichung ≈11,79

Ich rechne 11,79*1,96 (wegen 95%), kommt raus 23,1

Damit wird mit einer Sicherheit von 95% 143-190× die 6 gewürfelt.

Weiß nicht, ob das jetzt die Näherung mit der Normalverteilung ist, aber so haben wir es im Unterricht gemacht.

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Ja das ist schon richtig. Also allgemein berechnest du das Intervall über die Formel

[n·p - 1.96·√(n·p·(1 - p)), n·p + 1.96·√(n·p·(1 - p))]

nehmen wir jetzt mal an du interessierst dich aber nicht für die Anzahl der geworfenen 6-en sondern nur um den Anteil der geworfenen 6-en. Wie würdest du jetzt das Intervall berechnen in der der Anteil der geworfenen 6-en mit 95%iger Wahrscheinlichkeit liegt.

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[p - 1,96 * Sigma/n; p + 1,96 Sigma/n]

Sigma = \( \sqrt{n*p*(1-p)} \)

So, oder?

Bzw. muss man mit der relativen Häufigkeit reiten und X/n einsetzen für das p, was unter der Urzel it. Das wäre die näherungsweise Lösung

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Ja genau. Kannst du das dann mal notieren.

Und für die Länge dieses Intervalls gilt dann die obere Grenze minus die untere Grenze. Auch das solltest du danach nochmal notieren. Bekommst du das hin?

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Also wenn ich das vereinfache, dann kommt

3,92 * \( \sqrt{n*p*(1-p)} \) /n

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Schreibe besser 2 * 1.96

Und das durch n kannst du noch mit dem n in der Wurzel zusammenfassen. Weißt du wie?

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Betreibst du Mäeutik? :)

Mir kam gerade die Erleuchtung, als du geschrieben hast, dass ich 2*1,96 schreiben soll. Jetzt macht das total Sinn (jedenfalls die erste Zeile). Zwar habe ich keine Ahnung, wie ich n in die Wurzel bekomme, aber ich verstehe inzwischen, dass die erste Zeile vom Ausdruck aussagt, dass das Konfidenzintervall zu 95%-Sicherheitswahrscheinlichkeit nicht größer als 0,05 sein soll.

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Ja. Ich betreibe eigentlich im Rahmen meiner Nachhilfe Mäeutik. Hier im Forum ist, das meist mühselig, weshalb ich das hier meist sein lasse.

Es ist aber wissenschaftlich mehr als erwiesen, dass Schüler, wenn sie sich etwas unter Anleitung selbst erarbeiten, dieses viel besser verstehen und lernen.

Dann will ich dir mal mit dem n auf die Sprünge helfen

$$\frac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}{n} = \frac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{n \cdot p \cdot (1-p)}{n^2}} = \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}$$

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Das stimmt, so versteht man das viel besser.

Danke dir, jetzt verstehe ich das auf jeden Fall so gut, was da steht.

Die zweite Zeile wäre dann, dass Sigma/n mit h als näherungsweise Wahrscheinlichkeit nicht größer sein darf als   Sigma/n mit 0,5 als exakte Wahrscheinlichkeit, oder ?

Also auf jeden Fall soll h nicht größer als 0,5 sein

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Da die Gleichung insgesamt nach n aufgelöst ist nach dem Stichprobenumfang gefragt.

Für welche Wahrscheinlichkeit ist der Ausdruck p * (1 - p) maximal. Vielleicht kannst du das auch noch untersuchen.

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f(p) = \( -p^{2} \) + p

f'(p) = -2p+1

f'(p)=0 -> p=0,5

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Man benutzt also nur p = 0.5, wenn p unbekannt ist und man daher n nicht zu klein wählen möchte.

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Wow, danke dir. Du hast so einen Knoten in meinem Kopf gelöst. Danke, schönen Abend noch!