Ich soll alle Lösungen also auch komplexe Lösungen der Gleichung z3 = -27 finden, es gab diese Frage hier im Forum auch schonmal, aber der ist schon ein paar Jahre her und wenn ich da nochmal was schreibe bemerk das wohl kaum jemand daher hier meine konkrete Frage:
Ich hab das ganze einmal mit dem Koeffizientenvergleich berechnet, indem ich z:= a+bi definiert habe, das hoch 3 gerechnet habe und dann Koeffizientenvgl mit dem Realteil, der -27 sein soll und dem Imaginärteil, der 0 sein soll. Dabei bin ich auch auf das richtige Ergebnis gestoßen, aber wenn ich das ganze mit der allgemeinen Lösungsformel versuche sind die Vorzeichen genau verdreht und ich kann nicht nachvollziehen weshalb.
Als erstes forme ich z3 = -27 in Exponentialdarstellung um also z3= 27 e2π·i
Die Allg. Lösungsformel lautet ja für zn = r·eφi
zk = \( \sqrt[n]{r} \)·ei·(\( \frac{2πk+φ}{n} \)) mit k= 0,1,2,...,n-1
In meinem Fall wäre das
z0 = \( \sqrt[3]{27} \)·ei·(\( \frac{2π·0+2π}{3} \)) = 3·ei·(\( \frac{2π}{3} \))
z1 = \( \sqrt[3]{27} \)·ei·(\( \frac{2π·1+2π}{3} \)) = 3·ei·(\( \frac{4π}{3} \))
z2 = \( \sqrt[3]{27} \)·ei·(\( \frac{2π·2+2π}{3} \)) = 3·ei·(\( \frac{6π}{3} \)) = 3·ei·2π
Und hier sind diese Ergebnisse in der Gaußschen Zahlenebene genau an der y-Achse im Vergleich zu den richtigen Ergebnissen gespiegelt, denn ich weiß ja dass ein Ergebnis auf jeden Fall auf der Realachse liegen muss bei -3 denn in den reellen Zahlen ist das ja meine einzige Lösung. Mein z2 sagt aber aus, dass es bei +3 liegt denn der Winkel ist 2π also keine Drehung bzw. eine volle Drehung und damit auf dem positiven Teil der Realachse. Wo ist hier der Fehler?
