Wieso bekomme ich bei der partiellen Ableitung und setzen vom Punkt (0,0) falsche Ergebnisse?

Question

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}-3 y^{3}}{x^{2}+y^{2}}+x+4 y, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen im Punkt \( (0,0) \).

\( \frac{\partial}{\partial x} f(0,0)= \)

\( \frac{\partial}{\partial y} f(0,0)= \)

Leitet man hier nicht nach x und y ab und setzt x,y (0,0)? Ich bekomme nicht diese Ergebnisse heraus.

Comments

Ich kann deinen Fehler nicht finden. Wie sehen denn deine partiellen Ableitungen aus?

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für x= \( \frac{2x^4+5x^2y^2+6xy^3+y^4}{(x^2+y2)^2} \) und

y= \( \frac{4x^4-2x^3y-x^2y^2+y^4}{(x^2+y^2)^2} \)

Answer 1

Ich denke mal, dass du hier auf die Def. der part. Abl'en zurückgehen:

in x-Richtung:

(f(0+h,0) - f(0,0) ) / h = (h^3 / h^2  + h)  / h =  2h /h = 2

entsprechend in y-Richtung mit ( f(0,h) - f(0,0) ) / h .

Comments

Wie kommst du auf (h^3/h^2+h) ? ist das die formel?

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in einer Lösung sah ich dass von x^3-3y^3/x^2+y^2 +x+y auf 2x^3+y^3/x^2+y^2 -x+y gekommen ist, wie wurde hier gerechnet?

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Die Formel für die part. Abl. im Punkt (0,0) nach x ist doch

(f(0+h,0) - f(0,0) ) / h

und dann Grenzwert für h gegen 0.

also kurz

(f(h,0) - f(0,0) ) / h

jetzt einsetzen gibt

( (h^3 - 3*0)/(h^2 +0^2)   + h + 4*0    - 0  )   / h

=  (h3 / h2  + h)  / h  =  2h /h = 2